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Questão 12: Determinação de \( m \) em função quadrática
Enunciado: Considere a função \( f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \), definida por \( f(x) = x^2 + 2mx + 16 \). Determine o valor de \( m \in \mathbb{R} \) de modo que:
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a) A função \( f \) tenha um único zero.
🔍 Ver solução
Para que a função tenha um único zero, o discriminante deve ser igual a zero:
$$ \Delta = b^2 – 4ac $$
$$ \Delta = (2m)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 16 $$
$$ \Delta = 4m^2 – 64 $$
Igualando a zero:
$$ 4m^2 – 64 = 0 $$
$$ 4m^2 = 64 $$
$$ m^2 = 16 $$
$$ m = \pm 4 $$
Resposta: \( m = \pm 4 \)
b) O gráfico da função passe pelo ponto \( (2, -4) \).
🔍 Ver solução
Se \( (2, -4) \) pertence ao gráfico, então \( f(2) = -4 \):
$$ f(x) = x^2 + 2mx + 16 $$
$$ f(2) = (2)^2 + 2m(2) + 16 $$
$$ -4 = 4 + 4m + 16 $$
$$ -4 = 4m + 20 $$
$$ 4m = -24 $$
$$ m = -6 $$
Resposta: \( m = -6 \)
