Relações Métricas no Triângulo Retângulo
As relações métricas no triângulo retângulo são fórmulas que relacionam as medidas dos lados, das projeções e da altura relativa à hipotenusa. Elas são essenciais para resolver problemas de geometria, trigonometria e provas como ENEM, OBMEP e concursos.
O que são as Relações Métricas
No triângulo retângulo, além do Teorema de Pitágoras, existem relações que envolvem:
- os catetos (\(b\) e \(c\));
- a hipotenusa (\(a\));
- a altura relativa à hipotenusa (\(h\));
- as projeções dos catetos sobre a hipotenusa (\(m\) e \(n\)).
Principais Fórmulas
a² = b² + c² — Teorema de Pitágoras
b² = a · n — Cateto e sua projeção
c² = a · m — Cateto e sua projeção
h² = m · n — Altura relativa à hipotenusa
a · h = b · c — Produto dos catetos
c · h = b · m e b · h = c · n — Relações entre altura, catetos e projeções
Exemplos Resolvidos
Exemplo 1 Calcular a altura do triângulo
Num triângulo retângulo, \(a = 13\) cm, \(b = 5\) cm e \(c = 12\) cm. Determine a altura relativa à hipotenusa.
\(a · h = b · c\)
\(13 · h = 5 · 12\)
\(13h = 60\)
\(h = \dfrac{60}{13} ≈ 4,62\ \text{cm}\)
Exemplo 2 Determinar projeções
No mesmo triângulo anterior, calcule as projeções \(m\) e \(n\).
\(b² = a · n\) → \(5² = 13 · n\) → \(25 = 13n\) → \(n = \dfrac{25}{13}\)
\(c² = a · m\) → \(12² = 13 · m\) → \(144 = 13m\) → \(m = \dfrac{144}{13}\)
Exercícios para praticar
1) Cálculo da altura
Em um triângulo retângulo, \(a = 10\) cm, \(b = 6\) cm e \(c = 8\) cm. Determine \(h\).
2) Projeção dos catetos
Em um triângulo retângulo, \(a = 15\) cm, \(b = 9\) cm e \(c = 12\) cm. Calcule \(m\) e \(n\).
3) Relação com a área
Um triângulo retângulo tem catetos de \(9\) cm e \(12\) cm. Determine a altura relativa à hipotenusa e a área do triângulo.
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Lista de Exercícios — Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Resolva os exercícios e revele o gabarito no abre/fecha.
1) Altura relativa à hipotenusa
Em um triângulo retângulo, os catetos medem \(6\) cm e \(8\) cm. Determine a altura relativa à hipotenusa.
- A) 3,2 cm
- B) 3,8 cm
- C) 4,2 cm
- D) 4,8 cm
- E) 5,0 cm
Ver solução
\(a=\sqrt{6^2+8^2}=10\). Pela relação \(a\cdot h=b\cdot c\): \(10h=48\Rightarrow h=4{,}8\ \text{cm}\). Correta: D.
2) Projeção do cateto \(b\)
Em um triângulo retângulo, \(a=13\) cm, \(b=5\) cm e \(c=12\) cm. Determine a projeção \(n\) do cateto \(b\) sobre a hipotenusa.
- A) 1,50 cm
- B) 1,92 cm
- C) 2,50 cm
- D) 3,50 cm
- E) 4,50 cm
Ver solução
\(b^2=a\cdot n\Rightarrow 25=13n\Rightarrow n=\frac{25}{13}\approx 1{,}92\ \text{cm}\). Correta: B.
3) Altura pela relação entre projeções
Um triângulo retângulo tem hipotenusa \(a=13\) cm, com projeções \(m=9\) cm e \(n=4\) cm. Determine a altura relativa à hipotenusa.
- A) 5,5 cm
- B) 6,0 cm
- C) 6,5 cm
- D) 7,0 cm
- E) 7,5 cm
Ver solução
\(h^2=m\cdot n=9\cdot4=36\Rightarrow h=6\ \text{cm}\). Correta: B.
4) Determinar cateto via projeção
Num triângulo retângulo, \(a=10\) cm e a projeção \(m=6\) cm. Calcule o cateto \(c\).
- A) 6,5 cm
- B) 7,0 cm
- C) 7,5 cm
- D) 7,75 cm
- E) 8,0 cm
Ver solução
\(c^2=a\cdot m=10\cdot6=60\Rightarrow c=\sqrt{60}\approx 7{,}75\ \text{cm}\). Correta: D.
5) Aplicando altura e catetos
Num triângulo retângulo, \(b=9\) cm e \(c=12\) cm. Determine a altura relativa à hipotenusa.
- A) 5,0 cm
- B) 5,4 cm
- C) 6,0 cm
- D) 7,2 cm
- E) 7,5 cm
Ver solução
\(a=\sqrt{9^2+12^2}=15\). \(15h=9\cdot12=108\Rightarrow h=7{,}2\ \text{cm}\). Correta: D.
6) Hipotenusa via projeções
Num triângulo retângulo, \(m=9\) cm e \(n=16\) cm. Determine a hipotenusa \(a\).
- A) 23 cm
- B) 24 cm
- C) 25 cm
- D) 26 cm
- E) 27 cm
Ver solução
\(a=m+n=9+16=25\ \text{cm}\). Correta: C.
7) Relação entre catetos, altura e projeção
Num triângulo retângulo, \(b=8\) cm, \(h=4\) cm e \(m=6\) cm. Determine o valor do cateto \(c\).
- A) 8 cm
- B) 9 cm
- C) 10 cm
- D) 12 cm
- E) 14 cm
Ver solução
\(c\cdot h=b\cdot m\Rightarrow c\cdot4=8\cdot6=48\Rightarrow c=12\ \text{cm}\). Correta: D.
8) Área do triângulo retângulo
Num triângulo retângulo, \(a=20\) cm, \(b=12\) cm e \(c=16\) cm. Calcule a área.
- A) 72 cm²
- B) 80 cm²
- C) 84 cm²
- D) 90 cm²
- E) 96 cm²
Ver solução
\(A=\dfrac{b\cdot c}{2}=\dfrac{12\cdot16}{2}=96\ \text{cm}^2\). Correta: E.
9) Encontrando a projeção pela altura
Num triângulo retângulo, \(h=6\) cm e \(m=8\) cm. Determine \(n\).
- A) 4,0 cm
- B) 4,5 cm
- C) 5,0 cm
- D) 5,5 cm
- E) 6,0 cm
Ver solução
\(h^2=m\cdot n\Rightarrow 36=8n\Rightarrow n=4{,}5\ \text{cm}\). Correta: B.
10) Aplicação prática
Uma escada deve atingir \(12\) m de altura com a base a \(5\) m da parede. Qual o comprimento da escada?
- A) 12,5 m
- B) 13,0 m
- C) 13,5 m
- D) 14,0 m
- E) 14,5 m
Ver solução
\(a=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{169}=13\ \text{m}\). Correta: B.
