Enunciado:
Os segmentos \( \overline{AB}, \overline{CD}, \overline{EF} \) e \( \overline{GH} \) são proporcionais. A soma das medidas dos dois primeiros segmentos equivale a 12, e a diferença entre essas medidas é igual a 2. Com relação aos dois últimos segmentos, sabemos que a medida do primeiro é o triplo da medida do segundo menos duas unidades.
Nessas condições, determine a soma das medidas de todos os segmentos.
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Passo 1: Seja \( x \) e \( y \) as medidas dos segmentos \( AB \) e \( CD \):
- \( x + y = 12 \)
- \( x – y = 2 \)
Somando as equações:
\( (x + y) + (x – y) = 12 + 2 \Rightarrow 2x = 14 \Rightarrow x = 7 \)
Substituindo em \( x + y = 12 \):
\( 7 + y = 12 \Rightarrow y = 5 \)
Agora, para os segmentos \( EF \) e \( GH \):
Sabemos que o primeiro é o triplo do segundo menos duas unidades:
\( EF = 3 \cdot GH – 2 \)
Como os segmentos são proporcionais na mesma ordem:
\( AB : CD : EF : GH = 7 : 5 : (3g – 2) : g \)
Montamos a razão:
\( \frac{3g – 2}{g} = \frac{7}{5} \)
Multiplicando em cruz:
\( 5(3g – 2) = 7g \Rightarrow 15g – 10 = 7g \Rightarrow 8g = 10 \Rightarrow g = \frac{10}{8} = 1{,}25 \)
Agora:
- \( GH = g = 1{,}25 \)
- \( EF = 3g – 2 = 3 \cdot 1{,}25 – 2 = 3{,}75 – 2 = 1{,}75 \)
Somando tudo:
\( AB + CD + EF + GH = 7 + 5 + 1{,}75 + 1{,}25 = \boxed{15} \)
Resposta final: A soma das medidas dos quatro segmentos é 15.
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