📘 Questão 29 – Geometria – Losango e Retângulo
(FGV-SP) Na figura a seguir, \(ABCD\) é um retângulo e \(AMCN\) é um losango.
Determine a medida do segmento \(\overline{NB}\), sabendo que \(AB = 2AD = 20\,\text{cm}\).
👀 Ver solução passo a passo
1. Análise da figura:
Como \(AMCN\) é um losango, temos:
\[
AN = MC = AM = CN = x
\]
2. No triângulo \(ADN\):
\[
AD^2 + DN^2 = AN^2 \Rightarrow 10^2 + DN^2 = x^2 \Rightarrow 100 + DN^2 = x^2 \tag{1}
\]
3. No triângulo \(MBC\):
\[
MB = AB – AM = 20 – x
\]
\[
MB^2 + BC^2 = MC^2 \Rightarrow (20 – x)^2 + 10^2 = x^2
\]
Expandindo:
\[
(20 – x)^2 = 400 – 40x + x^2
\Rightarrow 400 – 40x + x^2 + 100 = x^2
\Rightarrow 500 – 40x = 0
\Rightarrow x = \frac{500}{40} = 12{,}5
\]
4. Com isso:
\[
AM = CN = 12{,}5\,\text{cm}
\quad\text{e}\quad
MB = 20 – 12{,}5 = 7{,}5\,\text{cm}
\]
5. Encontrando \(NB\):
No triângulo \(NBC\), temos:
\[
NB^2 = NC^2 + BC^2
\]
\[
\text{Como } NC = CD – DN \text{ e } DN = \sqrt{x^2 – AD^2}
\]
\[
DN = \sqrt{12{,}5^2 – 10^2} = \sqrt{156{,}25 – 100} = \sqrt{56{,}25} = 7{,}5\,\text{cm}
\Rightarrow NC = 20 – 7{,}5 = 12{,}5\,\text{cm}
\]\[
NB^2 = 12{,}5^2 + 10^2 = 156{,}25 + 100 = 256{,}25
\Rightarrow NB = \sqrt{256{,}25} \approx 16{,}007\,\text{cm}
\]
✅ Resposta final: Aproximadamente \( \boxed{16\ \text{cm}} \)
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