Quando estudamos cálculo e limites, frequentemente nos deparamos com situações em que o valor de uma expressão não pode ser determinado diretamente ao substituir a variável pelo valor que se aproxima. Nesses casos, surgem as indeterminações, que exigem um tratamento mais cuidadoso.
📌 O que são indeterminações?
São expressões que, ao serem avaliadas diretamente, produzem formas como:
- \( \frac{0}{0} \)
- \( \frac{\infty}{\infty} \)
- \( \infty – \infty \)
- \( 0 \cdot \infty \)
- \( 0^0 \)
- \( \infty^0 \)
Essas formas não fornecem uma resposta única, pois podem levar a diferentes resultados dependendo do contexto. Por isso, devemos manipular as expressões antes de calcular o limite.
🧠 Indeterminação do tipo \( \frac{\infty}{\infty} \)
Exemplo 1
\( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{x^3 + 1}{5x^2 + 3} \)
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1. Análise inicial: Forma \( \frac{\infty}{\infty} \).
2. Dividindo pelo maior termo no denominador:
\( \displaystyle \frac{x + \frac{1}{x^2}}{5 + \frac{3}{x^2}} \)
3. Calculando o limite:
\( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{x + \frac{1}{x^2}}{5 + \frac{3}{x^2}} = \frac{\infty}{5} = \infty \)
Resultado: O limite diverge para \( +\infty \).
Exemplo 2
\( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 1}{x^4 + x} \)
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Forma: \( \frac{\infty}{\infty} \)
Dividindo todos os termos por \( x^4 \):
\( \displaystyle \frac{\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^4}}{1 + \frac{1}{x^3}} \to \frac{0 + 0}{1 + 0} = 0 \)
Resultado: O limite é 0.
🧠 Indeterminação do tipo \( \infty – \infty \)
Exemplo 3
\( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} (x^2 – x^3) \)
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Temos a forma \( \infty – \infty \), que é uma indeterminação.
Fatorando:
\( x^2 – x^3 = x^3 \left( \frac{1}{x} – 1 \right) \)
\( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} x^3 \left( \frac{1}{x} – 1 \right) = \infty \cdot (-1) = -\infty \)
Resultado: O limite é \( -\infty \).
📝 Atividades Resolvidas
Questão 1
\( \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 – 216}{x – 6} \)
- (A) 0
- (B) 36
- (C) \( \infty \)
- (D) -6
- (E) 6
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Numerador: \( x^3 – 216 = (x – 6)(x^2 + 6x + 36) \)
Cancelando o fator \( x – 6 \):
\( \lim_{x \to \infty} x^2 + 6x + 36 = \infty \)
Gabarito: Letra C
Questão 2
\( \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 – 2x + 5}{2x^3 – 7} \)
- (A) 1/2
- (B) 1
- (C) \( \infty \)
- (D) 5/7
- (E) 0
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Dividindo todos os termos por \( x^3 \):
\( \displaystyle \frac{1 – \frac{2}{x^2} + \frac{5}{x^3}}{2 – \frac{7}{x^3}} \to \frac{1}{2} \)
Gabarito: Letra A
Questão 3
\( \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \frac{6x^3 + 4}{3x^3 – 2} + \frac{1}{x} \right) \)
- (A) 0
- (B) 1
- (C) 2
- (D) 3
- (E) 4
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\( \frac{6x^3 + 4}{3x^3 – 2} \to \frac{6}{3} = 2 \)
\( \frac{1}{x} \to 0 \)
Resultado: \( 2 + 0 = 2 \)
Gabarito: Letra C
Questão 4
\( \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^2 – 4}{x – 2} \)
- (A) 1
- (B) 4
- (C) 3
- (D) 2
- (E) 5
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\( x^2 – 4 = (x – 2)(x + 2) \)
\( \lim_{x \to 2} x + 2 = 4 \)
Gabarito: Letra B
Questão 5
\( \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x^2 + 2x – 15}{\sqrt{3x – 6} – \sqrt{x}} \)
- (A) \( 2\sqrt{3} \)
- (B) \( 4\sqrt{3} \)
- (C) \( 6\sqrt{3} \)
- (D) \( 8\sqrt{3} \)
- (E) 0
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Forma \( \frac{0}{0} \).
Numerador: \( x^2 + 2x – 15 = (x + 5)(x – 3) \)
Racionalizando o denominador:
Multiplica-se pelo conjugado:
\( \frac{(x + 5)(x – 3)}{\sqrt{3x – 6} – \sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{3x – 6} + \sqrt{x}}{\sqrt{3x – 6} + \sqrt{x}} \)
Denominador vira: \( 2(x – 3) \)
Expressão final: \( \frac{(x + 5)(\sqrt{3x – 6} + \sqrt{x})}{2} \)
Substituindo \( x = 3 \):
\( \frac{8(2\sqrt{3})}{2} = 8\sqrt{3} \)
Gabarito: Letra D
