Transformações de Funções e o Conceito de Inversa
Introdução
As funções matemáticas são essenciais para descrever fenômenos e relações. Quando alteramos uma função, seja por multiplicação, adição ou transformações mais complexas, o gráfico pode sofrer mudanças significativas como compressão, expansão, reflexões e translações. Além disso, conceitos como domínio, contradomínio, imagem e função inversa tornam-se fundamentais.
Neste artigo, exploraremos:
- O efeito de multiplicar a variável por um número positivo ou negativo.
- O conceito de domínio, contradomínio e imagem.
- Funções inversas, incluindo trigonométricas, exponenciais e logarítmicas.
Efeitos da Multiplicação por Constantes
Para uma função \( f(x) \), criar uma nova função \( g(x) = f(a \cdot x) \) altera o gráfico horizontalmente. Os efeitos são:
Exemplo: Se \( f(x) = \sin x \), então \( f(2x) \) possui período \( \pi \), metade do período original \( 2\pi \). Já \( f(-x) \) é o gráfico refletido em relação ao eixo \( y \).
Domínio, Contradomínio e Imagem
Uma função é formalmente definida como:
- Domínio (D): conjunto dos valores possíveis de \( x \).
- Contradomínio (C): conjunto onde \( f(x) \) está definido.
- Imagem: conjunto de valores realmente atingidos pela função.
Exemplo:
Função Inversa
A função inversa \( f^{-1}(x) \) é aquela que desfaz o efeito de \( f(x) \). Formalmente:
Para que a inversa exista, \( f \) deve ser bijetora (injetora e sobrejetora).
Exemplo: Quadrado e Raiz Quadrada
A função \( f(x) = x^2 \) não é injetora em \( \mathbb{R} \) porque:
Restringindo o domínio a \( x \geq 0 \), a função se torna injetora, e sua inversa é:
Funções Trigonométricas Inversas
Para \( f(x) = \sin x \), restringimos o domínio a \( \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] \), onde a função é crescente. Assim, definimos o arco-seno:
Exemplo: \( \arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6} \).
Exponenciais e Logaritmos
A função exponencial \( f(x) = a^x \) (\( a > 0, a \neq 1 \)) é injetora e sobrejetora em \( (0, +\infty) \). Sua inversa é o logaritmo:
Reflexão e Gráficos da Inversa
O gráfico de \( f^{-1}(x) \) é obtido refletindo \( f(x) \) na reta \( y = x \). Por exemplo:
- O gráfico de \( y = x^2 \) (com \( x \geq 0 \)) é uma parábola.
- O gráfico de \( y = \sqrt{x} \) é a reflexão dessa parábola.
Conclusão
Entender as transformações em funções, bem como os conceitos de domínio, contradomínio, imagem e inversa, é fundamental para o estudo de cálculo e geometria analítica. O estudo das funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas amplia significativamente nossa compreensão das relações matemáticas.
