Descontos: Desconto Simples e Composto, e Como Calcular o Valor Final Após Descontos

Os descontos são uma parte essencial das transações comerciais e financeiras, aplicados em compras à vista, promoções e até na quitação antecipada de dívidas. Existem dois principais tipos de descontos no universo financeiro: desconto simples e desconto composto. Cada um deles tem suas particularidades e cálculos próprios, o que afeta diretamente o valor final a ser pago após a aplicação do desconto. Neste artigo, abordaremos o conceito de desconto simples e composto, suas diferenças e como calcular o valor final após a aplicação de cada tipo de desconto.

📌 Links Recomendados para seus Estudos

1. O que é Desconto?

Antes de explorarmos os tipos de desconto, é importante entender o conceito básico. O desconto é a redução de um valor a ser pago ou recebido, geralmente aplicado sobre um valor nominal (valor original). Ele pode ser oferecido em diversas situações, como:

Compras à vista: Oferecido para incentivar o pagamento imediato.
Promoções e liquidações: Aplicado para atrair consumidores e escoar estoques.
Pagamento antecipado de dívidas: Concedido para quem paga antes do prazo acordado.

Agora, vejamos como funcionam os dois principais tipos de desconto.

2. Desconto Simples

O desconto simples é aquele em que a redução é calculada diretamente sobre o valor nominal (valor original) de forma linear, sem a aplicação de juros ou outros cálculos complexos. Em outras palavras, o desconto simples é proporcional ao valor inicial e ao tempo de antecipação do pagamento, caso seja utilizado em contextos de quitação antecipada de dívidas.

Existem duas formas principais de calcular o desconto simples:

Desconto Simples Comercial

a) Desconto Comercial ou por Fora (Desconto Simples Comercial)

Nesse tipo de desconto, o valor a ser pago é reduzido diretamente pelo valor do desconto, que é calculado sobre o valor nominal. A fórmula para o desconto simples comercial é:

$ D_c = N \times i \times t $

Onde:

D_c é o valor do desconto,
N é o valor nominal (valor original),
i é a taxa de desconto (em forma decimal),
t é o tempo (em anos, meses ou dias, dependendo da unidade da taxa).

O valor a ser pago (valor final) é:

$ P = N – D_c $

Exemplo de Desconto Simples Comercial

Imagine que um cliente precisa pagar uma dívida de R$ 10.000,00, com uma taxa de desconto (juros simples) de 2% ao mês, e ele decide quitar o valor 3 meses antes do vencimento.

N = R$ 10.000,00,
i = 2% = 0,02,
t = 3 meses.

Aplicando a fórmula:

$ D_c = 10.000 \times 0,02 \times 3 $
$ D_c = 600 $

O valor do desconto é de R$ 600,00. Portanto, o valor final a ser pago será:

$ P = 10.000 – 600 = R\$ \, 9.400,00 $

O cliente pagará R$ 9.400,00 após o desconto.

Desconto Simples Comercial — Exercícios

Exercício 1 — Cálculo do valor a pagar

Um título de valor nominal $N = \text{R\$ }5.000,00$ é antecipado com taxa de desconto simples comercial $i=3\%$ ao mês, por $t=2$ meses. Qual é o valor a ser pago $P$?

A) R$ 4.400,00
B) R$ 4.600,00
C) R$ 4.700,00
D) R$ 4.850,00

👀 Ver solução passo a passo

Desconto comercial: $\;D_c = N\cdot i \cdot t$.

$D_c = 5.000 \times 0{,}03 \times 2 = 300$

Valor a pagar: $\;P = N – D_c$.

$P = 5.000 – 300 = \text{R\$ }4.700{,}00$

Alternativa correta: C.

Exercício 2 — Desconto e valor líquido

Um cliente antecipa um título de $N=\text{R\$ }12.000{,}00$ com taxa mensal de $i=1{,}5\%$ por $t=4$ meses. Qual é o valor líquido $P$ recebido?

A) R$ 11.280,00
B) R$ 11.400,00
C) R$ 11.520,00
D) R$ 12.720,00

👀 Ver solução passo a passo

Desconto:

$D_c = 12.000 \times 0{,}015 \times 4 = 12.000 \times 0{,}06 = 720$

Valor líquido:

$P = 12.000 – 720 = \text{R\$ }11.280{,}00$

Alternativa correta: A.

Exercício 3 — Determinando o valor nominal

Após um desconto simples comercial de $i=2\%$ ao mês por $t=2$ meses, o valor pago foi $P=\text{R\$ }9.160{,}00$. Qual era o valor nominal $N$ do título?

A) R$ 9.400,00
B) R$ 9.541,67
C) R$ 9.600,00
D) R$ 9.540,00

👀 Ver solução passo a passo

Como $P = N – D_c$ e $D_c = N\cdot i \cdot t$, então: $\;P = N(1 – i t)\Rightarrow N = \dfrac{P}{1-i t}$.

$N = \dfrac{9.160}{1-0{,}02\cdot 2} = \dfrac{9.160}{0{,}96} \approx \text{R\$ }9.541{,}67$

Alternativa correta: B.

Desconto Simples Racional

b) Desconto Racional ou por Dentro (Desconto Simples Racional)

No desconto racional, o valor do desconto é calculado sobre o valor presente ou valor atual, em vez de ser calculado sobre o valor nominal. A fórmula para o desconto racional é:

$ D_r = \dfrac{N \times i \times t}{1 + i \times t} $

O valor presente ou valor final a ser pago é:

$ P = \dfrac{N}{1 + i \times t} $

Exemplo de Desconto Simples Racional:

Usando os mesmos valores do exemplo anterior ($N = \text{R\$ }10.000,00$, $i = 2\%$ ao mês e $t = 3$ meses), vamos calcular o valor do desconto racional.

Aplicando a fórmula:

$ P = \dfrac{10.000}{1 + 0,02 \times 3} $

$ P = \dfrac{10.000}{1 + 0,06} $

$ P = \dfrac{10.000}{1,06} $

$ P \approx 9.433,96 $

O valor a ser pago após o desconto será aproximadamente R$ 9.433,96.

O desconto será:

$ D_r = 10.000 – 9.433,96 = \text{R\$ }566,04 $

Exercícios — Desconto Simples Racional

Exercício 1 — Valor Presente

Um título de valor nominal $N = \text{R\$ }8.000,00$ será antecipado com uma taxa de desconto racional simples de $i = 3\%$ ao mês por $t = 5$ meses. Qual será o valor presente $P$?

A) R$ 7.000,00
B) R$ 7.500,00
C) R$ 7.600,00
D) R$ 7.700,00

👀 Ver solução passo a passo

Fórmula do valor presente:

$P = \dfrac{N}{1 + i \cdot t}$

Substituindo os valores:

$P = \dfrac{8.000}{1 + 0,03 \cdot 5} = \dfrac{8.000}{1 + 0,15} = \dfrac{8.000}{1,15} \approx \text{R\$ }6.956,52$

Alternativa correta: A.

Exercício 2 — Valor do Desconto

Um título de $N = \text{R\$ }12.000,00$ será antecipado com taxa de desconto racional de $i = 2,5\%$ ao mês por $t = 6$ meses. Qual será o valor do desconto $D_r$?

A) R$ 1.200,00
B) R$ 1.500,00
C) R$ 1.750,00
D) R$ 1.800,00

👀 Ver solução passo a passo

Primeiro, calculamos o valor presente:

$P = \dfrac{12.000}{1 + 0,025 \cdot 6} = \dfrac{12.000}{1 + 0,15} = \dfrac{12.000}{1,15} \approx \text{R\$ }10.434,78$

Agora, o valor do desconto:

$D_r = N – P = 12.000 – 10.434,78 \approx \text{R\$ }1.565,22$

Alternativa correta: C.

Exercício 3 — Determinando o Valor Nominal

Um cliente antecipa um pagamento e recebe $P = \text{R\$ }9.200,00$ por um título com taxa de desconto racional simples $i = 2\%$ ao mês durante $t = 4$ meses. Qual era o valor nominal $N$ do título?

A) R$ 9.800,00
B) R$ 9.984,00
C) R$ 10.000,00
D) R$ 10.200,00

👀 Ver solução passo a passo

Reorganizando a fórmula do valor presente:

$P = \dfrac{N}{1 + i \cdot t} \;\Rightarrow\; N = P \cdot (1 + i \cdot t)$

Substituindo os valores:

$N = 9.200 \cdot (1 + 0,02 \cdot 4) = 9.200 \cdot (1 + 0,08) = 9.200 \cdot 1,08 = \text{R\$ }9.936,00$

Alternativa correta: B.

Desconto Composto

3. Desconto Composto

O desconto composto é aplicado quando o cálculo considera uma taxa de juros compostos. Nesse caso, o valor é descontado ao longo do tempo com capitalização, sendo comum em contratos de médio e longo prazo e em operações financeiras mais complexas.

A fórmula do desconto composto comercial é:

$ D_c = N \times \left[\,1 – (1+i)^{-t}\,\right] $

Onde:

D_c é o valor do desconto composto,
N é o valor nominal,
i é a taxa de desconto (por período, em decimal),
t é o tempo (em períodos, como meses ou anos).

O valor a ser pago (valor presente) será:

$ P = N \times (1+i)^{-t} $

Exemplo de Desconto Composto

Imagine que você tem uma dívida de R$ 10.000,00 com uma taxa de desconto de 2% ao mês e decide quitar essa dívida 3 meses antes do vencimento.

N = R$ 10.000,00
i = 2\% = 0,02
t = 3 meses

Aplicando a fórmula do valor presente:

$ P = 10.000 \times (1 + 0,02)^{-3} $

$ P = 10.000 \times (1,02)^{-3} $

$ P = 10.000 \times 0,94232 $

$ P \approx \text{R\$ }9.423,20 $

O valor a ser pago após o desconto composto será de aproximadamente R$ 9.423,20.

O valor do desconto composto será:

$ D_c = 10.000 – 9.423,20 = \text{R\$ }576,80 $

Quer revisar os conceitos de aumento, desconto, juros simples e compostos? Leia o guia completo de Matemática Financeira

Exercícios — Desconto Composto

Exercício 1 — Valor Presente

Um título de valor nominal $N = \text{R\$ }5.000,00$ será antecipado com taxa de desconto composto $i = 3\%$ ao mês durante $t = 4$ meses. Qual será o valor presente $P$?

A) R$ 4.450,00
B) R$ 4.450,86
C) R$ 4.600,00
D) R$ 4.800,00

👀 Ver solução passo a passo

Aplicamos a fórmula do valor presente:

$P = N \cdot (1 + i)^{-t}$

Substituindo os valores:

$P = 5.000 \cdot (1 + 0,03)^{-4} = 5.000 \cdot (1,03)^{-4}$

$P = 5.000 \cdot \dfrac{1}{1,03^4} \approx 5.000 \cdot 0,89017 \approx \text{R\$ }4.450,86$

Alternativa correta: B.

Exercício 2 — Valor do Desconto Composto

Um cliente quita uma dívida de $N = \text{R\$ }12.000,00$ com taxa de desconto composto $i = 2,5\%$ ao mês por $t = 6$ meses. Qual é o valor do desconto $D_c$?

A) R$ 1.800,00
B) R$ 1.850,00
C) R$ 1.867,20
D) R$ 2.000,00

👀 Ver solução passo a passo

Primeiro calculamos o valor presente:

$P = 12.000 \cdot (1 + 0,025)^{-6} = 12.000 \cdot (1,025)^{-6}$

$P = 12.000 \cdot \dfrac{1}{1,025^6} \approx 12.000 \cdot 0,8444 \approx \text{R\$ }10.132,80$

Agora, o desconto composto:

$D_c = N – P = 12.000 – 10.132,80 = \text{R\$ }1.867,20$

Alternativa correta: C.

Exercício 3 — Determinando o Valor Nominal

Um título teve valor presente de $P = \text{R\$ }9.500,00$ ao ser antecipado com taxa de desconto composto $i = 2\%$ ao mês por $t = 5$ meses. Qual era o valor nominal $N$?

A) R$ 10.000,00
B) R$ 10.200,00
C) R$ 10.500,00
D) R$ 10.800,00

👀 Ver solução passo a passo

Usamos a fórmula:

$P = N \cdot (1 + i)^{-t} \;\Rightarrow\; N = P \cdot (1 + i)^t$

Substituindo os valores:

$N = 9.500 \cdot (1 + 0,02)^5 = 9.500 \cdot (1,02)^5$

$N = 9.500 \cdot 1,10408 \approx \text{R\$ }10.488,76 \approx \text{R\$ }10.500,00$

Alternativa correta: C.

4. Diferenças entre Desconto Simples e Desconto Composto

A principal diferença entre o desconto simples e o desconto composto é a forma como o desconto é calculado. No desconto simples, o desconto é linear e não considera a capitalização dos juros, enquanto no desconto composto, o desconto é calculado de maneira exponencial, levando em consideração o tempo e a taxa de juros composta.

Desconto Simples: Mais utilizado em operações de curto prazo e cálculos mais simples.
Desconto Composto: Mais utilizado em operações de médio e longo prazo, em que o efeito dos juros compostos é significativo.

📌 Links Recomendados para seus Estudos

📖 Leia também

5. Conclusão

O entendimento dos diferentes tipos de descontos na matemática, sejam eles simples ou compostos, é crucial para realizar transações financeiras de forma mais eficiente e estratégica. Saber calcular o valor final a ser pago após a aplicação de descontos permite ao consumidor ou investidor tomar decisões informadas, seja ao quitar uma dívida, negociar contratos ou avaliar uma promoção.

O desconto simples é mais comum em transações rotineiras e de curto prazo, enquanto o desconto composto é aplicado em situações que envolvem períodos mais longos e cálculos mais complexos. De qualquer forma, a compreensão desses conceitos pode ajudar a economizar dinheiro e a otimizar o planejamento financeiro.

Relacionadas

Inflação: Impacto nos Investimentos, Cálculos de Juros e Cálculo do Valor Real

Taxa Interna de Retorno (TIR): para que serve e como calcular

Funções Custo, Receita e Lucro: Um Guia Completo

"Artigo escrito por"

Adriano Rocha

Sou Adriano Rocha, professor de Matemática com mestrado e especialização em Resolução de Problemas, além de expertise em concursos públicos. Leciono no Colégio Estadual Mimoso do Oeste e utilizo metodologias inovadoras para aprimorar a compreensão matemática e a resolução de problemas. Produzo conteúdos como artigos para blogs, livros, eBooks e mapas mentais, além de desenvolver materiais didáticos e participar de eventos acadêmicos, sempre com o objetivo de contribuir para o ensino e aprendizagem da Matemática.