A equação do 1º grau é uma expressão matemática em que a incógnita tem grau 1. As equações são expressões que contêm incógnitas, representadas por letras que indicam valores desconhecidos, e uma igualdade. A forma geral de uma equação do 1º grau é ax + b = 0, onde a e b são números reais, sendo a diferente de 0. O objetivo de resolver uma equação do 1º grau é determinar o valor da incógnita que torna a equação verdadeira, e esse valor é chamado de solução ou raiz da equação.
Resumo sobre Equações do 1º Grau
A equação do 1º grau é uma expressão matemática que contém incógnitas de grau 1, ou seja, com o expoente 1. Uma equação do 1º grau com uma incógnita possui exatamente uma única solução.
A forma geral de uma equação do 1º grau com uma incógnita é representada por ax + b = 0, onde a e b são números reais. Para resolvê-la, realizamos operações em ambos os lados da igualdade, com o objetivo de isolar a incógnita e determinar seu valor.
Quando uma equação do 1º grau envolve duas incógnitas, ela possui infinitas soluções. Nesse caso, a expressão matemática é dada por ax + by + c = 0.
Equações do 1º grau são frequentemente abordadas no Enem, geralmente em questões que exigem não só a resolução da equação, mas também a interpretação do problema e a montagem da equação a partir de um texto.
Uma equação do 1º grau é uma equação algébrica na qual a incógnita, geralmente representada por uma letra como x, tem o maior expoente igual a 1. Em outras palavras, é uma equação onde a variável não é elevada ao quadrado, ao cubo, ou a qualquer outro número maior que 1.
A forma geral de uma equação do 1º grau com uma incógnita é:
ax + b = 0
Onde:
- a e b são números reais, com a diferente de zero.
- x é a incógnita (o valor que estamos tentando descobrir).
O objetivo ao resolver uma equação do 1º grau é encontrar o valor de x que faz com que a equação seja verdadeira. Esse valor é chamado de solução ou raiz da equação. As equações do 1º grau são fundamentais em matemática, pois representam problemas lineares simples, como cálculos de distância, tempo, e outras situações do cotidiano que envolvem relações proporcionais.
Como calcular uma equação do 1º grau?
Utilizamos uma equação do 1º grau para representar situações em que precisamos encontrar os valores que a incógnita pode assumir, mantendo a equação verdadeira. Isso significa que estamos buscando a solução ou as soluções da equação. A seguir, explicaremos como encontrar a solução de uma equação do 1º grau com uma incógnita e como determinar as soluções de uma equação do 1º grau com duas incógnitas.
Vamos resolver um exemplo de uma equação do 1º grau com uma incógnita:
Exemplo: Resolva a equação 3x + 5 = 20.
Passo 1: Isolar o termo com a incógnita
Subtraia 5 de ambos os lados da equação para eliminar o termo constante do lado esquerdo:
3x + 5 – 5 = 20 – 5
3x = 15
Passo 2: Isolar a incógnita
Agora, divida ambos os lados da equação pelo coeficiente da incógnita (3) para encontrar o valor de x:
3x / 3 = 15 / 3
x = 5
Conclusão:
A solução da equação 3x + 5 = 20 é x = 5. Isso significa que Isso significa que, se substituirmos x por 5 na equação original, ela permanecerá verdadeira.
Exercícios De Equações do 1° Grau
1 – Resolva as equações do 1° grau abaixo
a) 3x + 4 = 13
b)5x – 7 = 8
c) 4x + 2 = 18
d) 7x – 3 = 25
e) 6x + 5 = 29
f) 8x – 4 = 20
g) 9x + 1 = 28
h) 10x – 6 = 34
i) 11x + 3 = 36
j) 12x – 8 = 40
Solução das Equações do 1° Grau
a) 3x + 4 = 13
3x = 13 – 4
3x = 9
x = 9 / 3
x = 3
b) 5x – 7 = 8
5x = 8 + 7
5x = 15
x = 15 / 5
x = 3
c)4x + 2 = 18
4x = 18 – 2
4x = 16
x = 16 / 4
x = 4
7x – 3 = 25
d) 7x = 25 + 3
7x = 28
x = 28 / 7
x = 4
e) 6x + 5 = 29
6x = 29 – 5
6x = 24
x = 24 / 6
x = 4
f) 8x – 4 = 20
8x = 20 + 4
8x = 24
x = 24 / 8
x = 3
g) 9x + 1 = 28
9x = 28 – 1
9x = 27
x = 27 / 9
x = 3
h) 10x – 6 = 34
10x = 34 + 6
10x = 40
x = 40 / 10
x = 4
i) 11x + 3 = 36
11x = 36 – 3
11x = 33
x = 33 / 11
x = 3
j) 12x – 8 = 40
12x = 40 + 8
12x = 48
x = 48 / 12
x = 4
Vamos resolver a equação 5x – 3 = 2x + 6 passo a passo:
Passo 1: Isolar as incógnitas em um lado da equação
Para isso, subtraia 2x de ambos os lados da equação para reunir todos os termos com x em um lado:
5x – 3 – 2x = 2x + 6 – 2x
3x – 3 = 6
Passo 2: Isolar o termo com a incógnita
Agora, adicione 3 a ambos os lados da equação para eliminar o termo constante do lado esquerdo:
3x – 3 + 3 = 6 + 3
3x = 9
Passo 3: Encontrar o valor da incógnita
Divida ambos os lados da equação pelo coeficiente de x (que é 3) para encontrar o valor de x:
3x / 3 = 9 / 3
x = 3
Conclusão:
A solução da equação 5x – 3 = 2x + 6 é x = 3. Isso significa que, se substituirmos x por 3 na equação original, ela será verdadeira.
2 – Resolva as equações do 1° grau abaixo
a) 4x – 7 = 3x + 5
b)6x + 2 = 4x + 10
c) 7x – 8 = 5x + 4
d) 9x + 1 = 6x + 7
e) 8x – 5 = 3x + 15
f) 10x + 4 = 7x + 12
g) 12x – 3 = 9x + 6
h) 15x – 9 = 10x + 11
i) 11x + 2 = 8x + 14
j) 14x – 4 = 5x + 18
Solução das Equações do 1° Grau
a) 4x – 7 = 3x + 5
4x – 3x = 5 + 7
x = 12
b) 6x + 2 = 4x + 10
6x – 4x = 10 – 2
2x = 8
x = 4
c) 7x – 8 = 5x + 4
7x – 5x = 4 + 8
2x = 12
x = 6
d) 9x + 1 = 6x + 7
9x – 6x = 7 – 1
3x = 6
x = 2
e) 8x – 5 = 3x + 15
8x – 3x = 15 + 5
5x = 20
x = 4
f) 10x + 4 = 7x + 12
10x – 7x = 12 – 4
3x = 8
x = 8 / 3
x = 2.67 (aproximadamente)
g) 12x – 3 = 9x + 6
12x – 9x = 6 + 3
3x = 9
x = 3
h) 15x – 9 = 10x + 11
15x – 10x = 11 + 9
5x = 20
x = 4
i) 11x + 2 = 8x + 14
11x – 8x = 14 – 2
3x = 12
x = 4
j) 14x – 4 = 5x + 18
14x – 5x = 18 + 4
9x = 22
x = 22 / 9
x = 2.44 (aproximadamente)
Em uma equação, os conceitos de primeiro membro e segundo membro referem-se às duas partes que são separadas pelo sinal de igualdade (=). Aqui está uma explicação de cada um:
Primeiro Membro
O primeiro membro é a expressão matemática que aparece à esquerda do sinal de igualdade. Ele pode incluir variáveis, números e operadores matemáticos. Em outras palavras, é o lado da equação que está antes do sinal de igualdade.
Segundo Membro
O segundo membro é a expressão matemática que aparece à direita do sinal de igualdade. Assim como o primeiro membro, pode incluir variáveis, números e operadores matemáticos. É o lado da equação que está depois do sinal de igualdade.
Exemplo
Considere a equação:
3x + 2 = 7 – x
- Primeiro Membro: 3x + 2
- Segundo Membro: 7 – x
Explicação Adicional
- Primeiro Membro: Inclui todos os termos que estão antes do sinal de igualdade. Neste exemplo, 3x + 2 é o primeiro membro. Aqui, temos um termo com a variável x e um termo constante.
- Segundo Membro: Inclui todos os termos que estão depois do sinal de igualdade. Neste exemplo, 7 – x é o segundo membro. Aqui, temos um termo constante e um termo com a variável x.
Resolução da Equação
Para resolver a equação, você deve manipular ambos os membros da equação para isolar a variável. Normalmente, isso envolve operações como adição, subtração, multiplicação e divisão aplicadas de forma que os dois membros permaneçam equilibrados.
Voltando ao exemplo:
3x + 2 = 7 – x
Para resolver, você faria:
- Adicione x a ambos os lados para reunir todos os termos com x em um lado:3x + x + 2 = 7 – x + x
4x + 2 = 7 - Subtraia 2 de ambos os lados para eliminar o termo constante do primeiro membro:4x + 2 – 2 = 7 – 2
4x = 5 - Divida ambos os lados por 4 para encontrar x:4x / 4 = 5 / 4
x = 5/4
x = 1,25
Assim, x = 1,25 é a solução da equação.
Aplicações Práticas das Equações do 1º Grau no Cotidiano
Equações do 1º grau têm diversas aplicações práticas no cotidiano, ajudando a resolver problemas que envolvem relações lineares. Aqui estão algumas aplicações práticas:
1. Orçamento e Finanças Pessoais
Se você está planejando um orçamento e precisa calcular o valor disponível para gastar em diferentes categorias, pode usar equações do 1º grau. Por exemplo, se você sabe quanto ganha e quanto já gastou, pode usar uma equação para determinar quanto ainda pode gastar.
Exemplo: Você ganha R$ 3000 por mês e já gastou R$ 1200 em despesas fixas. Quanto resta para gastar?
Equação: R – 1200 = 3000
Onde R é o total disponível.
2. Cálculo de Tempo de Viagem
Se você sabe a velocidade média de um veículo e a distância a ser percorrida, pode usar uma equação do 1º grau para calcular o tempo necessário para completar a viagem.
Exemplo: Se você está viajando a uma velocidade constante de 80 km/h e precisa percorrer 200 km, quanto tempo levará?
Equação: 80t = 200
Onde t é o tempo.
3. Distribuição de Recursos
Ao distribuir recursos em uma empresa ou projeto, as equações do 1º grau ajudam a determinar como dividir recursos de maneira eficiente.
Exemplo: Se você tem 200 unidades de um produto e precisa dividi-las igualmente entre 5 departamentos, quantas unidades cada departamento receberá?
Equação: 5d = 200
Onde d é o número de unidades por departamento.
4. Cálculo de Preços e Descontos
Ao aplicar descontos em produtos ou serviços, você pode usar equações do 1º grau para encontrar o preço final.
Exemplo: Um produto custa R$ 150 e está com um desconto de 20%. Qual é o preço final do produto?
Equação: P – 0,20P = 150
Onde P é o preço original e o desconto é representado como uma fração.
5. Determinação de Salários e Comissões
Se você recebe um salário fixo mais uma comissão com base nas vendas, você pode usar uma equação do 1º grau para calcular seu salário total.
Exemplo: Você ganha um salário fixo de R$ 2000 e recebe uma comissão de 5% sobre vendas que totalizam R$ 10.000. Qual é o seu salário total?
Equação: 2000 + 0,05 * 10000 = Total
6. Planejamento de Produção
Na produção industrial, as equações do 1º grau são usadas para calcular a quantidade de materiais necessários com base na produção.
Exemplo: Se para produzir 100 unidades de um produto são necessários 500 kg de matéria-prima, quantos kg são necessários para produzir 250 unidades?
Equação: 500 / 100 = x / 250
Onde x é a quantidade necessária de matéria-prima.
7. Análise de Desempenho
Em esportes ou outras áreas, equações do 1º grau podem ajudar a analisar o desempenho e prever resultados.
Exemplo: Se um atleta corre 400 metros em 50 segundos, qual é sua velocidade média?
Equação: 400 / 50 = V
Onde V é a velocidade média.
Esses exemplos mostram como as equações do 1º grau são ferramentas úteis para resolver problemas práticos e tomar decisões informadas no dia a dia.
Perguntas Frequentes (FAQ) sobre Equações do 1º Grau
1 – O que é uma equação do 1º grau?
Uma equação do 1º grau é uma equação algébrica onde a variável (incógnita) tem o expoente 1. A forma geral é ax + b = 0, onde a e b são números reais e a é diferente de zero.
2 – Como resolver uma equação do 1º grau?
Para resolver uma equação do 1º grau, você deve isolar a variável. Combine termos semelhantes e mova todos os termos com a variável para um lado da equação e os termos constantes para o outro. Em seguida, divida pelo coeficiente da variável para encontrar o valor da incógnita.
3 – Qual é a diferença entre o primeiro membro e o segundo membro de uma equação?
O primeiro membro é a expressão à esquerda do sinal de igualdade, e o segundo membro é a expressão à direita do sinal de igualdade. Juntos, eles formam a equação completa.
4 – Como posso aplicar equações do 1º grau no meu dia a dia?
Equações do 1º grau podem ser usadas para resolver problemas práticos como calcular orçamentos, determinar o tempo de viagem, dividir recursos, e calcular descontos, entre outros.
5 – Qual é a solução de uma equação do 1º grau com duas incógnitas?
Uma equação do 1º grau com duas incógnitas não tem uma solução única; ela representa uma linha em um plano cartesiano. Para encontrar uma solução específica, você geralmente precisa de um sistema de duas equações.
6 – O que fazer se a equação do 1º grau não parecer ter solução?
Se, ao resolver uma equação do 1º grau, você encontrar uma contradição (como 0 = 5), isso indica que a equação não tem solução. Se a equação simplifica para uma identidade verdadeira (como 0 = 0), isso indica que há infinitas soluções.
7 – Como posso verificar se a solução encontrada está correta?
Substitua o valor encontrado para a variável na equação original e verifique se ambos os lados da equação são iguais. Se a substituição satisfaz a equação, a solução está correta.
8 – Por que as equações do 1º grau são importantes?
Equações do 1º grau são fundamentais porque são a base para muitos conceitos matemáticos e são amplamente utilizadas em diversas áreas como finanças, ciência, engenharia e em situações do cotidiano para resolver problemas lineares.
9 – Como resolver uma equação do 1º grau com frações?
Para resolver equações do 1º grau com frações, primeiro elimine as frações multiplicando todos os termos da equação pelo denominador comum. Depois, siga o processo usual de isolar a variável e resolver a equação.
10 – É possível resolver equações do 1º grau usando uma calculadora?
Sim, uma calculadora pode ser útil para resolver equações do 1º grau, especialmente se envolver cálculos complexos. Use-a para fazer operações aritméticas e verificar o valor da variável encontrada.
Se você tiver mais dúvidas ou precisar de ajuda adicional, não hesite em buscar mais informações ou consultar um especialista em matemática!
Problemas do dia a dia envolvendo Equação do 1 grau
Problema 1: Orçamento Mensal
Problema: Maria tem um orçamento mensal de R$ 1200. Ela gastou R$ 450 em alimentação e R$ 200 em transporte. Quanto ela pode gastar em entretenimento, mantendo-se dentro do orçamento?
Solução: Primeiro, somamos o que Maria gastou com alimentação e transporte: 450 + 200 = 650. Em seguida, subtraímos esse valor do orçamento total: 1200 – 650 = 550.
Resposta: Maria pode gastar R$ 550 em entretenimento.
Problema 2: Tempo de Viagem
Problema: João viajou a uma velocidade constante de 80 km/h e percorreu uma distância de 240 km. Qual foi o tempo total da viagem?
Solução: Para encontrar o tempo de viagem, dividimos a distância pela velocidade: 240 dividido por 80 resulta em 3 horas.
Resposta: O tempo total da viagem foi de 3 horas.
Problema 3: Preço com Desconto
Problema: Um laptop custa R$ 2000 e está com um desconto de 15%. Qual é o preço final do laptop após o desconto?
Solução: Primeiro, calculamos o valor do desconto: 15% de 2000 é 300. Subtraímos esse valor do preço original: 2000 menos 300 resulta em 1700.
Resposta: O preço final do laptop é R$ 1700.
Problema 4: Distribuição de Recursos
Problema: Uma empresa tem 600 unidades de um produto para distribuir igualmente entre 4 filiais. Quantas unidades cada filial receberá?
Solução: Dividimos o total de unidades pelo número de filiais: 600 dividido por 4 resulta em 150.
Resposta: Cada filial receberá 150 unidades.
Problema 5: Cálculo de Salário
Problema: Ana ganha um salário fixo de R$ 1500 e recebe uma comissão de 5% sobre vendas que totalizam R$ 8000. Qual é o seu salário total?
Solução: Primeiro, calculamos a comissão: 5% de 8000 é 400. Somamos esse valor ao salário fixo: 1500 mais 400 resulta em 1900.
Resposta: O salário total de Ana é R$ 1900.
Problema 6: Tempo de Trabalho
Problema: Carla trabalhou 45 horas em uma semana e ganhou R$ 15 por hora. Se ela receber um pagamento total de R$ 750, quanto ela ganhou por hora?
Solução: Para verificar, multiplicamos o número de horas pelo valor por hora: 45 vezes 15 é igual a 750.
Resposta: Carla ganhou R$ 15 por hora.
Problema 7: Cálculo de Lucro
Problema: Um comerciante comprou um produto por R$ 80 e o vendeu por R$ 120. Qual foi o lucro obtido?
Solução: Subtraímos o custo de compra do preço de venda: 120 menos 80 é igual a 40.
Resposta: O lucro obtido foi R$ 40.
Problema 8: Cálculo de Despesas
Problema: Um grupo de amigos quer dividir igualmente uma conta de restaurante de R$ 320. Se houver 8 pessoas no grupo, quanto cada pessoa deve pagar?
Solução: Dividimos o total da conta pelo número de pessoas: 320 dividido por 8 resulta em 40.
Resposta: Cada pessoa deve pagar R$ 40.
Problema 9: Compra com Taxa
Problema: Se um produto custa R$ 500 e a taxa de entrega é de R$ 50, qual é o custo total do produto com a taxa de entrega?
Solução: Adicionamos a taxa de entrega ao preço do produto: 500 mais 50 resulta em 550.
Resposta: O custo total do produto é R$ 550.
Problema 10: Receita Proporcional
Problema: Um chef preparou uma receita que rende 8 porções. Se ele deseja preparar 12 porções, quantos ingredientes ele precisa ajustar proporcionalmente?
Solução: Para ajustar a receita para 12 porções, multiplicamos a quantidade de ingredientes por 1,5 (pois 12 dividido por 8 é igual a 1,5).
Resposta: O chef precisa ajustar os ingredientes para 1,5 vezes a quantidade original para preparar 12 porções.
