A hipérbole é uma curva aberta formada pela interseção de um plano com um cone duplo em um ângulo maior que o da geratriz do cone. Ao contrário da elipse e da parábola, a hipérbole tem duas partes chamadas ramos, que se afastam indefinidamente uma da outra. Este artigo aborda os principais conceitos, notações e equações relacionados à hipérbole, focando nas definições geométricas e analíticas.
1. Componentes da Hipérbole
- Centro (O): O ponto médio do segmento que une os dois focos (F1 e F2). Este ponto é o ponto de simetria da hipérbole.
- Focos (F1 e F2): Dois pontos fixos F1 e F2 tais que a diferença das distâncias de qualquer ponto P da hipérbole a esses dois focos é constante e igual a 2a.
- Eixo Real ou Transversal (A1A2): É o eixo que passa pelos focos F1 e F2. A distância entre os vértices da hipérbole, A1 e A2, é igual a 2a, onde ‘a’ é a semi-distância do eixo real.
- Eixo Imaginário (B1B2): É o eixo perpendicular ao eixo real que passa pelo centro O. A distância entre os extremos do eixo imaginário, B1 e B2, é igual a 2b, onde ‘b’ é a semi-distância do eixo imaginário.
2. Propriedades da Hipérbole
- Relação entre os eixos:
- onde ‘c’ é a distância do centro O a cada foco F1 ou F2.
- Excentricidade (e):
A excentricidade da hipérbole é definida como a razão entre a distância focal e a semi-distância do eixo real:
- Como ( c > a ) em uma hipérbole, a excentricidade será sempre maior que 1.
3. Equação da Hipérbole
A equação da hipérbole depende da orientação do eixo real.
Hipérbole com Eixo Real Horizontal
Quando o eixo real A1A2 é horizontal, a equação da hipérbole é dada por:
Aqui, o centro da hipérbole está na origem (0, 0), os focos estão localizados em (±c, 0), e os vértices em (±a, 0).
As Assíntotas da Hipérbole Eixo Real Horizontal
As assíntotas de uma hipérbole são retas que passam pelo centro O e definem a direção dos ramos da hipérbole. Para uma hipérbole com eixo real horizontal, as equações das assíntotas são:
As assíntotas ajudam a definir o formato e a direção dos ramos da hipérbole.
Exemplo: Considere uma hipérbole com centro em O(0,0), onde a semi-distância do eixo real é a=4 e a semi-distância do eixo imaginário é b=3. Encontre a equação da hipérbole, as coordenadas dos focos, dos vértices e as equações das assíntotas.
Solução: Equação da Hipérbole
Simplificando:
Coordenadas dos Focos:
Para identificar o foco, calculamos a distância focal c usando a relação:
Como o eixo real é horizontal, os focos estão em (±c, 0), ou seja:
F1(5,0) e F2(−5,0)
Coordenadas dos Vértices:
Os vértices estão em (±a, 0), ou seja:
A1(4,0) e A2(−4,0)
Equações das Assíntotas:
Ou seja, as assíntotas são:
Hipérbole com Eixo Real Vertical
Quando o eixo real A1A2 é vertical, a equação da hipérbole é dada por:
Neste caso, o centro da hipérbole está na origem (0, 0), os focos estão localizados em (0, ±c), e os vértices em (0, ±a).
As Assíntotas da Hipérbole Eixo Real Vertical
As assíntotas de uma hipérbole são retas que passam pelo centro O e definem a direção dos ramos da hipérbole. Para uma hipérbole com eixo real vertical, as equações das assíntotas são:
As assíntotas ajudam a definir o formato e a direção dos ramos da hipérbole.
Exemplo: Considere uma hipérbole com centro em O(0,0), onde a semi-distância do eixo real é a=5 e a semi-distância do eixo imaginário é b=2. Encontre a equação da hipérbole, as coordenadas dos focos, dos vértices e as equações das assíntotas.
Solução:
Equação da Hipérbole:
Simplificando:
Coordenadas dos Focos:
Primeiro, calculamos a distância focal c usando a relação:
Como o eixo real é vertical, os focos estão em (0, ±c), ou seja:
F1(0, √29) e F2(0,−√29)
Coordenadas dos Vértices:
Os vértices estão em (0, ±a), ou seja:
A1(0,5) e A2(0,−5)
Equações das Assíntotas:
Ou seja, as assíntotas são:
Hipérbole com Centro O(x0,y0)
Hipérbole com Eixo Real Horizontal
Se o eixo real A1A2 for horizontal e o centro O estiver em (x0,y0), a equação da hipérbole é dada por:
Aqui, os focos estarão localizados em (x0±c, y0), e os vértices em (x0±a, y0).
As equações das assíntotas também se ajustam ao centro O(x0,y0).
Assíntotas da Hipérbole com Eixo Real Horizontal
As assíntotas ajudam a definir o formato e a direção dos ramos da hipérbole.
Exemplo: Considere a hipérbole com centro em O(2,−1), onde a semi-distância do eixo real é a=3 e a semi-distância do eixo imaginário é b=4. Encontre a equação da hipérbole, as coordenadas dos focos, dos vértices e as equações das assíntotas.
Solução: Equação da Hipérbole
Simplificando:
Coordenadas dos Focos:
Primeiro, calculamos a distância focal c usando a relação:
Como o eixo real é horizontal, os focos estão em (x0±c, y0), ou seja:
F1(2+5, −1) = F1(7, −1) e F2(2−5, −1) = F2(−3, −1)
Coordenadas dos Vértices:
Os vértices estão em (x0±a, y0), ou seja:
A1(2+3,−1) = A1(5,−1) e A2(2−3, −1) = A2(−1, −1)
Equações das Assíntotas:
Simplificando:
ou
2. Hipérbole com Eixo Real Vertical
Se o eixo real A1A2 for vertical e o centro O estiver em(x0,y0), a equação da hipérbole é dada por:
Neste caso, os focos estarão localizados em (x0, y0±c), e os vértices em (x0, y0±a).
As equações das assíntotas também se ajustam ao centro O(x0,y0).
Assíntotas da Hipérbole Hipérbole com Eixo Real Vertical
As assíntotas ajudam a definir o formato e a direção dos ramos da hipérbole.
Exemplo: Considere a hipérbole com centro em O(−2,3)O(-2, 3)O(−2,3), onde a semi-distância do eixo real é a=4a = 4a=4 e a semi-distância do eixo imaginário é b=2b = 2b=2. Encontre a equação da hipérbole, as coordenadas dos focos, dos vértices e as equações das assíntotas.
Solução: Equação da Hipérbole
Simplificando:
Coordenadas dos Focos:
Primeiro, calculamos a distância focal c usando a relação:
Como o eixo real é vertical, os focos estão em (x0, y0±c), ou seja:
Como o eixo real é vertical, os focos estão em (x0, y0±c), ou seja:
F1(−2; 3+4,47)≈ F1(−2; 7,47) e F2(−2; 3−4,47) ≈ F2(−2; −1,47)
Coordenadas dos Vértices:
Os vértices estão em (x0, y0±a), ou seja:
A1(−2, 3+4) = A1(−2, 7) e A2(−2, 3−4) = A2(−2, −1)
Equações das Assíntotas:
Simplificando:
ou
Considerações Finais
A hipérbole é uma das cônicas mais fascinantes da matemática, com aplicações em diversos campos como a astronomia, a física e a engenharia. Compreender suas propriedades e equações é essencial para estudar e aplicar conceitos geométricos em problemas complexos.
Este artigo forneceu uma visão detalhada sobre as notações e equações fundamentais da hipérbole, abordando tanto o eixo real horizontal quanto o vertical, além de suas assíntotas. Com este conhecimento, você estará bem equipado para explorar mais profundamente as aplicações da hipérbole em diferentes áreas.
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