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(Banca IBFC – 2021 – Funções) A função quadrática dada por f(x) = x2 − 2mx + m possui duas raízes reais e iguais quando os valores do número m forem iguais a:
A) {−4, 4}
B) {−1,0}
C) {−1, 1}
D) {0, 1}
Ver Solução
Para que a função quadrática ( f(x) = x2 – 2mx + m ) tenha duas raízes reais e iguais, o discriminante ( Δ ) da equação quadrática precisa ser igual a zero.
A função quadrática f(x) = x2 – 2mx + m tem a forma geral:
f(x) = ax2 + bx + c,
onde:
- ( a = 1 ),
- ( b = -2m ),
- ( c = m ).
O discriminante Δ é dado por:
Δ = b2– 4ac.
Substituindo os valores de ( a ), ( b ) e ( c ):
Δ = (-2m)2 – 4 ⋅ 1 ⋅ m.
Simplificando:
Δ = 4m2 – 4m.
Para que a função tenha duas raízes reais e iguais, precisamos que ( \Delta = 0 ):
4m2 – 4m = 0.
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 4:
m2 – m = 0.
Fatorando ( m ) da expressão:
m(m – 1) = 0.
As soluções dessa equação são:
m = 0 ou m = 1.
Resposta
Portanto, os valores de ( m ) que tornam a função quadrática com duas raízes reais e iguais são {0, 1}. A alternativa correta é:
D) {0, 1}.
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