Introdução aos Logaritmos
Olá, alunos da UNIVESP! Bem-vindos à nossa aula inicial sobre Logaritmos. Este é um tema fascinante, que acompanha diversos campos da ciência — da Matemática à Física, da Química às Engenharias — e é um verdadeiro pilar para a ciência contemporânea.
Origem dos Logaritmos
O conceito de logaritmo surgiu com John Napier, no século XVII, como uma técnica para simplificar cálculos complexos. Posteriormente, Leonhard Euler aprimorou essa ideia no século XVIII, inserindo-a em um contexto mais formal, associado ao crescimento exponencial e ao cálculo.
Definição de Logaritmo
O logaritmo de um número \( x \), em uma base \( b \), é o número \( y \) que satisfaz:
Para que essa definição faça sentido, impõem-se as condições:
- \( b > 0 \)
- \( b \neq 1 \)
- \( x > 0 \)
Nessa definição:
- b é a base.
- x é o logaritmando.
- y é o logaritmo.
Exemplos Básicos
\( \log_2 8 = 3 \) pois \( 2^3 = 8 \).
\( \log_{10} 100 = 2 \) pois \( 10^2 = 100 \).
\( \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{81} = 4 \) pois \( \left(\frac{1}{3}\right)^4 = \frac{1}{81} \).
Quando o Logaritmo não Existe?
O logaritmando \( x \) deve ser positivo. Por exemplo, não existe \( \log_2 (-8) \), pois nenhuma potência de 2 resulta em um número negativo.
Propriedades dos Logaritmos
As principais propriedades dos logaritmos, para \( a > 0 \), \( b > 0 \) e \( b \neq 1 \), são:
Exemplo de Uso Prático
Historicamente, tabelas de logaritmos eram usadas para facilitar cálculos. Por exemplo, para calcular \( 789 \times 913 \) sem multiplicar diretamente, fazia-se:
- Consultar \( \log_{10} 789 \) e \( \log_{10} 913 \).
- Somar os valores obtidos.
- Encontrar o antilogaritmo do resultado para obter \( 789 \times 913 \).
Exercício 1
Calcule \( \log_2 32 \).
Sabemos que \( 2^5 = 32 \), logo:
Exercício 2
Determine o valor de \( \log_{10} 1000 \).
Como \( 10^3 = 1000 \), temos:
Exercício 3
Resolva \( \log_5 125 \).
Note que \( 5^3 = 125 \), portanto:
Exercício 4
Calcule \( \log_4 \frac{1}{64} \).
Queremos o expoente \( y \) tal que \( 4^y = \frac{1}{64} \). Observe que:
\( 4^3 = 64 \), logo \( 4^{-3} = \frac{1}{64} \).
Exercício 5
Resolva \( \log_2 0,125 \).
Sabemos que \( 0,125 = \frac{1}{8} = 2^{-3} \), então:
