Matrizes e Determinantes

Álgebra Linear – Matrizes e Determinantes

Álgebra Linear

Nesta primeira aula do curso de Álgebra Linear, abordaremos os conceitos iniciais de matrizes, seus tipos, classificações e operações fundamentais, como soma e subtração.

O que é uma Matriz?

De forma simples, uma matriz é uma tabela de valores organizada em linhas e colunas. Esses valores podem ser números reais ou complexos, mas neste curso trabalharemos com números reais.

$$ A = [a_{ij}]_{m \times n} $$

Aqui, $ m $ representa o número de linhas e $ n $ o número de colunas da matriz $ A $.

Classificação das Matrizes

Uma matriz é identificada como $ m \times n $, onde $ m $ é o número de linhas e $ n $ o número de colunas.

Matriz Linha: Possui apenas uma linha. Exemplo: $ A = [1 \; 3 \; 7] $ é $ 1 \times 3 $.
Matriz Coluna: Possui apenas uma coluna. Exemplo: $ B = \begin{bmatrix} 2 \\ 9 \\ 3 \end{bmatrix} $ é $ 3 \times 1 $.
Matriz Unitária: Possui apenas um elemento, como $ C = [7] $.
Matriz Retangular: Quando $ m \neq n $, por exemplo $ 2 \times 3 $.
Matriz Quadrada: Quando $ m = n $, como uma matriz $ 3 \times 3 $.

Diagonais de uma Matriz

Nas matrizes quadradas, a diagonal principal é formada pelos elementos $ a_{11}, a_{22}, a_{33}, \dots $, enquanto a diagonal secundária é formada pelos elementos da linha superior direita ao canto inferior esquerdo.

Matrizes Especiais

Triangular Superior: Elementos abaixo da diagonal principal são zero.
Triangular Inferior: Elementos acima da diagonal principal são zero.
Matriz Diagonal: Apenas a diagonal principal possui valores diferentes de zero.
Matriz Identidade: Uma matriz diagonal com todos os elementos da diagonal principal iguais a 1:
$$ I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$

Lei de Formação

Uma matriz pode ser descrita por uma lei de formação, uma função $ a_{ij} $ que depende dos índices $ i $ e $ j $.

$$ a_{ij} = 3i + 2j $$

Exemplo: Para $ i = 2 $ e $ j = 3 $, temos $ a_{23} = 3(2) + 2(3) = 12 $.

Operações com Matrizes

A soma e a subtração de matrizes são possíveis apenas se elas possuem as mesmas dimensões.

$$ (A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij} $$

Propriedades da Soma

Comutativa: $ A + B = B + A $.
Associativa: $ (A + B) + C = A + (B + C) $.
Elemento Neutro: $ A + O = A $, onde $ O $ é a matriz nula.
Inverso Aditivo: Existe $ -A $ tal que $ A + (-A) = O $.

Subtração de Matrizes

$$ (A – B)_{ij} = a_{ij} – b_{ij} $$

Na próxima aula veremos a multiplicação de matrizes e suas propriedades.

Álgebra Linear – Multiplicação de Matrizes

Multiplicação de Matrizes

Hoje vamos estudar a multiplicação de matrizes, dando sequência à introdução sobre matrizes e determinantes. Vamos abordar dois casos principais:

Multiplicação de matriz por escalar.
Multiplicação de matriz por matriz.

1. Multiplicação de Matriz por Escalar

A multiplicação de uma matriz $ A $ por um escalar $ k $ consiste em multiplicar cada elemento de $ A $ por $ k $:

$$ k \cdot A = [ k \cdot a_{ij} ] $$

Exemplo:

Se $ k = -2 $ e $ A = \begin{bmatrix} 2 & 10 \\ 1 & -3 \end{bmatrix} $, então:

$ -2 \cdot A = \begin{bmatrix} -2 \cdot 2 & -2 \cdot 10 \\ -2 \cdot 1 & -2 \cdot (-3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 & -20 \\ -2 & 6 \end{bmatrix} $.

Propriedades: – $ 1 \cdot A = A $ (elemento neutro). – $ (ab) \cdot A = a \cdot (b \cdot A) $ (associatividade do escalar).

2. Multiplicação de Matriz por Matriz

Para multiplicar duas matrizes $ A $ (de dimensão $ m \times n $) e $ B $ (de dimensão $ n \times p $), é necessário que o número de colunas de $ A $ seja igual ao número de linhas de $ B $. A matriz resultante $ C = A \cdot B $ terá dimensão $ m \times p $.

$ c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \cdot b_{kj} $

Exemplo:

Seja $ A = \begin{bmatrix} -1 & 3 \\ 4 & 2 \end{bmatrix} $ e $ B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} $, então:

$ c_{11} = (-1)(1) + (3)(3) = -1 + 9 = 8 $ $ c_{12} = (-1)(2) + (3)(4) = -2 + 12 = 10 $ $ c_{21} = (4)(1) + (2)(3) = 4 + 6 = 10 $ $ c_{22} = (4)(2) + (2)(4) = 8 + 8 = 16 $

Assim, $ C = A \cdot B = \begin{bmatrix} 8 & 10 \\ 10 & 16 \end{bmatrix} $.

Atenção: A multiplicação de matrizes não é comutativa. Em geral, $ A \cdot B \neq B \cdot A $.

3. Propriedades da Multiplicação de Matrizes

Associativa: $ A \cdot (B \cdot C) = (A \cdot B) \cdot C $.
Distributiva: $ A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C $.
Elemento Neutro: $ A \cdot I = A $, onde $ I $ é a matriz identidade.

4. Matriz Transposta

A transposta de uma matriz $ A $, denotada $ A^T $, é obtida trocando suas linhas por colunas.

Exemplo:

Se $ A = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 3 & 2 \\ 4 & 7 \end{bmatrix} $, então $ A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 5 & 2 & 7 \end{bmatrix} $.

5. Matriz Inversa

A matriz inversa de $ A $, denotada $ A^{-1} $, é tal que $ A \cdot A^{-1} = I $. Ela só existe para matrizes quadradas e com determinante diferente de zero.

Exemplo:

Para $ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} $, a inversa é:

$ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} $, onde $ \det(A) = 1 \cdot 4 – 2 \cdot 3 = -2 $.

Logo, $ A^{-1} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{bmatrix} $.

6. Determinantes

O determinante é um número associado a uma matriz quadrada. Para uma matriz $ 2 \times 2 $:

$ \det \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = ad – bc $.

Exemplo:

Para $ A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} $, temos:

$ \det(A) = 2 \cdot 5 – 3 \cdot 4 = 10 – 12 = -2 $.

Determinante de matriz $ 3 \times 3 $ – Regra de Sarrus:

Copia-se as duas primeiras colunas ao lado da matriz e calcula-se:

$ \det A = (a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}) – (a_{31}a_{22}a_{13} + a_{32}a_{23}a_{11} + a_{33}a_{21}a_{12}) $.

Exercícios Resolvidos – Matrizes

1) Classifique a matriz $ A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 1 & 4 & 6 \end{bmatrix} $ quanto ao tipo (linha, coluna, quadrada ou retangular).

Ver solução

A matriz $ A $ possui 2 linhas e 3 colunas, ou seja, é do tipo $ 2 \times 3 $.

Classificação: Como $ m \neq n $, trata-se de uma matriz retangular.

2) Determine a matriz $ C = A + B $, sendo:
$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} $ e $ B = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 5 \end{bmatrix} $.

Ver solução

Somamos os elementos correspondentes:

$ C = \begin{bmatrix} 1+2 & 2+0 \\ 3+(-1) & 4+5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 9 \end{bmatrix} $.

3) Verifique se as matrizes $ A = \begin{bmatrix} x & 5 \\ -1 & 7 \end{bmatrix} $ e $ B = \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ -1 & y \end{bmatrix} $ são iguais e determine os valores de $ x $ e $ y $.

Ver solução

Para que $ A = B $, todos os elementos devem ser iguais:

$ x = 8 \quad \text{e} \quad y = 7. $

4) Calcule $ D = A – B $, sendo:
$ A = \begin{bmatrix} 4 & 1 & 2 \\ 0 & 5 & 3 \end{bmatrix} $, $ B = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 3 \end{bmatrix} $.

Ver solução

Subtraímos os elementos correspondentes:

$ D = \begin{bmatrix} 4-2 & 1-1 & 2-0 \\ 0-0 & 5-(-2) & 3-3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 7 & 0 \end{bmatrix} $.

5) Uma matriz $ M_{2 \times 2} $ tem lei de formação $ a_{ij} = i + j $. Determine todos os elementos da matriz.

Ver solução

Calculando cada elemento:

$ a_{11} = 1 + 1 = 2, \; a_{12} = 1 + 2 = 3, \; a_{21} = 2 + 1 = 3, \; a_{22} = 2 + 2 = 4. $

Logo, $ M = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} $.

Exercícios 6 a 10 – Matrizes

6) Multiplique a matriz $ A = \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} $ pelo escalar $ k = 3 $.

Ver solução

Multiplicamos cada elemento da matriz por 3:

$ 3 \cdot A = \begin{bmatrix} 3 \cdot 3 & 3 \cdot (-1) \\ 3 \cdot 2 & 3 \cdot 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & -3 \\ 6 & 12 \end{bmatrix} $.

7) Calcule o produto $ C = A \cdot B $, sendo: $ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} $ e $ B = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} $.

Ver solução

Calculamos elemento por elemento:

$ c_{11} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 = 2 + 2 = 4 $ $ c_{12} = 1 \cdot 0 + 2 \cdot 3 = 0 + 6 = 6 $ $ c_{21} = 3 \cdot 2 + 4 \cdot 1 = 6 + 4 = 10 $ $ c_{22} = 3 \cdot 0 + 4 \cdot 3 = 0 + 12 = 12 $.

Logo, $ C = \begin{bmatrix} 4 & 6 \\ 10 & 12 \end{bmatrix} $.

8) Determine a matriz transposta de $ A = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \end{bmatrix} $.

Ver solução

Para obter $ A^T $, trocamos linhas por colunas:

$ A^T = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} $.

9) Calcule o determinante da matriz $ A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} $.

Ver solução

O determinante de uma matriz $ 2 \times 2 $ é:

$ \det(A) = (2)(5) – (3)(4) = 10 – 12 = -2 $.

10) Determine a matriz inversa de $ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} $.

Ver solução

Primeiro, calculamos o determinante:

$ \det(A) = 1 \cdot 4 – 2 \cdot 3 = 4 – 6 = -2 $.

A inversa de $ A $ é:

$ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = -\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{bmatrix} $.

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Sou Adriano Rocha, professor de Matemática com mestrado e especialização em Resolução de Problemas, além de expertise em concursos públicos. Leciono no Colégio Estadual Mimoso do Oeste e utilizo metodologias inovadoras para aprimorar a compreensão matemática e a resolução de problemas. Produzo conteúdos como artigos para blogs, livros, eBooks e mapas mentais, além de desenvolver materiais didáticos e participar de eventos acadêmicos, sempre com o objetivo de contribuir para o ensino e aprendizagem da Matemática.

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