Mínimo Múltiplo Comum (MMC) — Guia Completo com Método Prático
O Mínimo Múltiplo Comum (MMC) é central no estudo de múltiplos e divisores dentro dos Conjuntos Numéricos. Ele se relaciona fortemente ao Máximo Divisor Comum (MDC) e aparece em operações com números inteiros e números naturais.
O que é o MMC
O Mínimo Múltiplo Comum de dois ou mais números é o menor número positivo que é múltiplo de todos eles simultaneamente. O tema está intrinsecamente ligado a múltiplos e divisores e frequentemente é cobrado em exercícios de frações, divisibilidade e problemas de periodicidade.
Exemplo rápido: MMC(4, 6)
- Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16…
- Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24…
MMC(4, 6) = 12
Quando usar o MMC
- Soma e subtração de frações (exige entender critérios de divisibilidade e múltiplos).
- Sincronização de eventos periódicos — análise típica de múltiplos e divisores.
- Organização de tarefas em ciclos (revisões, manutenções), modeladas nos números naturais.
MMC x MDC (diferenças e propriedade útil)
| MMC | MDC |
|---|---|
| Menor múltiplo comum | Maior divisor comum |
| Usado para juntar denominadores | Usado para simplificar frações |
| Ex.: MMC(6,8)=24 | Ex.: MDC(6,8)=2 |
Propriedade-chave:
\[ \mathrm{MMC}(a,b)\cdot \mathrm{MDC}(a,b) = a\cdot b \]
A demonstração e aplicações aparecem em Relação entre MMC e MDC. Precisa revisar MDC? Veja o guia de Máximo Divisor Comum (MDC).
4 métodos para calcular o MMC
1) Listagem de múltiplos (intuitivo)
Exemplo: MMC(3, 5) → múltiplos de 3: 3, 6, 9, 12, 15…; múltiplos de 5: 5, 10, 15… ⇒ MMC = 15.
2) Decomposição em fatores primos (clássico e seguro)
Decomponha cada número em primos e tome cada primo com o maior expoente que aparece.
Exemplo detalhado: MMC(12, 18)
\(12 = 2^2\cdot 3\) e \(18 = 2\cdot 3^2\).
Escolhendo os maiores expoentes: \(2^2\) e \(3^2\) ⇒ \(\mathrm{MMC}=2^2\cdot 3^2=36\).
Resposta: 36.
3) Tabela de divisões sucessivas (ótimo para 3+ números)
Divida simultaneamente por primos até restar apenas “1”.
Exemplo: MMC(8, 12, 20)
| Divisor | 8 | 12 | 20 |
|---|---|---|---|
| 2 | 4 | 6 | 10 |
| 2 | 2 | 3 | 5 |
| 2 | 1 | 3 | 5 |
| 3 | 1 | 1 | 5 |
| 5 | 1 | 1 | 1 |
Produto dos divisores: \(2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5 = 120\).
Resposta: 120.
4) Método Prático — usando o MDC
Para dois números, use a fórmula direta:
\[ \boxed{\mathrm{MMC}(a,b)=\dfrac{a\cdot b}{\mathrm{MDC}(a,b)}} \]
Exemplos rápidos
MMC(15, 20): \(\mathrm{MDC}=5\) ⇒ \(\dfrac{15\cdot 20}{5}=60\).
MMC(8, 12): \(\mathrm{MDC}=4\) ⇒ \(\dfrac{8\cdot 12}{4}=24\).
Revisão recomendada: Máximo Divisor Comum (MDC) e relação MMC × MDC.
Para muitos números, combine por pares: \(\mathrm{MMC}(a,b,c)=\mathrm{MMC}(\mathrm{MMC}(a,b),c)\).
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — MMC(15, 20)
Fatores: \(15=3\cdot 5\), \(20=2^2\cdot 5\).
\(\mathrm{MMC}=2^2\cdot 3\cdot 5=60\).
Leia também: Múltiplos e Divisores.
Exemplo 2 — MMC(6, 8, 9)
\(6=2\cdot 3\), \(8=2^3\), \(9=3^2\) ⇒ \(\mathrm{MMC}=2^3\cdot 3^2=72\).
Critérios úteis: divisibilidade por 2, 3 e 9.
Exemplo 3 — Somando frações com MMC
Some \(\frac{5}{12}+\frac{7}{18}\).
Use \(\mathrm{MMC}(12,18)=36\).
\(\frac{5}{12}=\frac{15}{36}\) e \(\frac{7}{18}=\frac{14}{36}\) ⇒ soma \(=\frac{29}{36}\).
Resposta: \(\frac{29}{36}\).
Aplicação prática — ciclos & sincronização
Duas máquinas ciclam a cada 6 min e 8 min. Quando coincidem?
Ver solução
\(\mathrm{MMC}(6,8)=\dfrac{6\cdot 8}{\mathrm{MDC}(6,8)}=\dfrac{48}{2}=24\).
Resposta: a cada 24 minutos.
Para revisar a parte de MDC utilizada aqui, consulte Máximo Divisor Comum.
🧪 Exercícios (clique para ver a solução)
1) Calcule \(\mathrm{MMC}(18, 24)\)
\(18=2\cdot 3^2\), \(24=2^3\cdot 3\) ⇒ \(\mathrm{MMC}=2^3\cdot 3^2=72\).
Resposta: 72.
2) Calcule \(\mathrm{MMC}(10, 14, 21)\)
\(10=2\cdot 5\), \(14=2\cdot 7\), \(21=3\cdot 7\).
\(\mathrm{MMC}=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7=210\).
Resposta: 210.
3) Encontre o denominador comum de \(\frac{3}{8}\) e \(\frac{5}{12}\)
\(\mathrm{MMC}(8,12)=24\) ⇒ denominador comum: 24.
4) Se um evento ocorre a cada 9 dias e outro a cada 12 dias, depois de quantos dias coincidem?
\(\mathrm{MMC}(9,12)=36\).
Resposta: 36 dias.
5) Use o método prático: \(\mathrm{MMC}(28, 35)\)
\(\mathrm{MDC}(28,35)=7\) ⇒ \(\dfrac{28\cdot 35}{7}=140\).
Resposta: 140.
Quer treinar mais MDC? Confira o guia de MDC.
Leituras recomendadas (reforço da base)
• Entenda o panorama de Conjuntos Numéricos e como múltiplos e divisores se relacionam.
• Reforce fundamentos com Números Naturais — o ambiente padrão para o estudo do MMC.
• Explore operações e propriedades em Números Inteiros, úteis em problemas de divisibilidade e frações.
Veja também — Guias que completam o estudo
📘 Lista de Exercícios — Mínimo Múltiplo Comum (MMC)
Resolva os itens a seguir. Clique para ver as soluções passo a passo.
1) Calcule o MMC(18, 24)
Fatores: \(18=2\cdot 3^2\), \(24=2^3\cdot 3\).
\(\mathrm{MMC}=2^3\cdot 3^2=72\).
Resposta: 72.
2) Calcule o MMC(28, 35)
Fatores: \(28=2^2\cdot 7\), \(35=5\cdot 7\).
\(\mathrm{MMC}=2^2\cdot 5\cdot 7=140\).
Resposta: 140.
3) Calcule o MMC(12, 15, 20)
\(12=2^2\cdot 3\), \(15=3\cdot 5\), \(20=2^2\cdot 5\).
\(\mathrm{MMC}=2^2\cdot 3\cdot 5=60\).
Resposta: 60.
4) Calcule o MMC(45, 60)
\(45=3^2\cdot 5\), \(60=2^2\cdot 3\cdot 5\).
\(\mathrm{MMC}=2^2\cdot 3^2\cdot 5=180\).
Resposta: 180.
5) Calcule o MMC(16, 20, 24)
\(16=2^4\), \(20=2^2\cdot 5\), \(24=2^3\cdot 3\).
\(\mathrm{MMC}=2^4\cdot 3\cdot 5=240\).
Resposta: 240.
6) Some \(\frac{5}{12}+\frac{7}{18}\) usando o MMC
\(\mathrm{MMC}(12,18)=36\).
\(\frac{5}{12}=\frac{15}{36}\), \(\frac{7}{18}=\frac{14}{36}\) ⇒ soma \(=\frac{29}{36}\).
Resposta: \(\frac{29}{36}\).
7) Dois ônibus passam a cada 9 min e 12 min. Em quanto tempo voltam a passar juntos?
\(\mathrm{MMC}(9,12)=36\) minutos.
Resposta: 36 minutos.
8) Revisões a cada 4 dias e 10 dias. Quando coincidem?
\(\mathrm{MMC}(4,10)=20\) dias.
Resposta: 20 dias.
9) Três sinais piscam a cada 6 s, 8 s e 14 s. Quando piscam juntos?
\(6=2\cdot 3\), \(8=2^3\), \(14=2\cdot 7\).
\(\mathrm{MMC}=2^3\cdot 3\cdot 7=168\) s.
Resposta: 168 segundos.
10) Menor número divisível por 8, 12 e 15
\(8=2^3\), \(12=2^2\cdot 3\), \(15=3\cdot 5\).
\(\mathrm{MMC}=2^3\cdot 3\cdot 5=120\).
Resposta: 120.
11) Atividades a cada 3 h, 4 h e 6 h. Após quantas horas coincidem?
\(\mathrm{MMC}(3,4,6)=12\) horas.
Resposta: 12 horas.
12) Três impressoras iniciam juntas e imprimem a cada 15 s, 20 s e 24 s. Quando iniciam juntas novamente?
\(15=3\cdot 5\), \(20=2^2\cdot 5\), \(24=2^3\cdot 3\).
\(\mathrm{MMC}=2^3\cdot 3\cdot 5=120\) s = 2 min.
Resposta: 120 segundos (2 minutos).
13) Use o método prático: MMC(84, 110)
\(\mathrm{MDC}(84,110)=2\) ⇒ \(\mathrm{MMC}=\dfrac{84\cdot 110}{2}=4620\).
Resposta: 4620.
14) Calcule o MMC(21, 28, 36)
\(21=3\cdot 7\), \(28=2^2\cdot 7\), \(36=2^2\cdot 3^2\).
\(\mathrm{MMC}=2^2\cdot 3^2\cdot 7=252\).
Resposta: 252.
15) Uma turma deve ser dividida igualmente em grupos de 4, 6 ou 9. Qual o menor número de alunos possível?
\(\mathrm{MMC}(4,6,9)=2^2\cdot 3^2=36\).
Resposta: 36 alunos.
16) Some \(\frac{7}{20}+\frac{3}{16}\) usando o MMC
\(\mathrm{MMC}(20,16)=80\).
\(\frac{7}{20}=\frac{28}{80}\), \(\frac{3}{16}=\frac{15}{80}\) ⇒ soma \(=\frac{43}{80}\) (irredutível).
Resposta: \(\frac{43}{80}\).
17) Plantões: A a cada 7 h e B a cada 9 h. Em quanto tempo coincidem?
\(\mathrm{MMC}(7,9)=63\) horas.
Resposta: 63 horas.
18) Alarmes a cada 12 min, 15 min e 18 min. Quando tocam juntos?
\(12=2^2\cdot 3\), \(15=3\cdot 5\), \(18=2\cdot 3^2\).
\(\mathrm{MMC}=2^2\cdot 3^2\cdot 5=180\) min = 3 h.
Resposta: 180 minutos (3 horas).
19) Calcule o MMC(18, 30, 45)
\(18=2\cdot 3^2\), \(30=2\cdot 3\cdot 5\), \(45=3^2\cdot 5\).
\(\mathrm{MMC}=2\cdot 3^2\cdot 5=90\).
Resposta: 90.
20) Três semáforos fecham a cada 40 s, 50 s e 60 s. Após quanto tempo fecharão juntos?
\(40=2^3\cdot 5\), \(50=2\cdot 5^2\), \(60=2^2\cdot 3\cdot 5\).
\(\mathrm{MMC}=2^3\cdot 3\cdot 5^2=600\) s = 10 min.
Resposta: 600 segundos (10 minutos).
🗂️ Gabarito rápido (sem o passo a passo)
- 72
- 140
- 60
- 180
- 240
- \(29/36\)
- 36 min
- 20 dias
- 168 s
- 120
- 12 h
- 120 s
- 4620
- 252
- 36 alunos
- \(43/80\)
- 63 h
- 180 min
- 90
- 600 s
