Progressão Geométrica (PG) – Matemática CESPE – Concurso Público

(CESPE / CEBRASPE  2024 – Prefeitura de Camaçari – BA – Assistente Administrativo)

O setor de comunicação da prefeitura publicou um vídeo na Internet que, no primeiro dia, teve 4.096 visualizações e, em cada dia subsequente, o número de visualizações registradas era sempre a metade do número do dia anterior. Nesse caso, ao final do 10.º dia, a quantidade total de visualizações que o vídeo obteve foi igual a

A) 4.
B) 8.
C) 8.176.
D) 8.184.
E) 8.188.

Solução em vídeo

O problema descreve uma sequência em que o número de visualizações do vídeo diminui pela metade a cada dia. Vamos calcular a quantidade total de visualizações ao final do 10.º dia.

Passo a Passo:

1. Identifique o padrão da sequência: No primeiro dia, o número de visualizações é de 4.096. A partir do segundo dia, a quantidade de visualizações é sempre a metade do dia anterior. Portanto, temos uma progressão geométrica (PG) em que:

• Termo inicial (a1): 4.096
• Razão (r): 1/2

Escreva a fórmula geral da progressão geométrica: A fórmula para o n-ésimo termo de uma PG é:

Onde:

• ( a_n ) é o termo no dia ( n ),
• ( a₁ = 4096 ) é o termo inicial,
• ( r = 1/2) é a razão,
• ( n ) é o número do dia.

Calcule o número de visualizações para cada dia até o 10º dia: Para encontrar o total de visualizações até o 10.º dia, precisamos somar todos os termos da sequência até ( n = 10 ). Os termos são:

Calcule a soma dos 10 termos: A soma dos primeiros 10 termos de uma PG é dada por:

Substituindo os valores:

• a1= 4096 = 2¹²,
• r= 1/2 = 2⁻¹
• n=10

Aplicando as propriedades das potências:

Calculando

2¹³⋅(1−2⁻¹⁰) = 2¹³ – 2³ = 8196 – 8 = 8184

Conclusão:

A quantidade total de visualizações ao final do 10.º dia é 8.184.

Portanto, a resposta correta é:

D) 8.184.