Exercícios de Razão e Proporção – Resoluções Detalhadas
Olá, pessoal! Na aula anterior, revisamos os conceitos fundamentais de razão e proporção. Hoje, vamos colocar esse conhecimento em prática com exercícios resolvidos. Para os cálculos, utilizaremos a propriedade fundamental da proporção:
\( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \implies a \cdot d = b \cdot c \)
1. Encontre o valor de \( x \) nas proporções
Exemplo 1: \( \frac{2}{6} = \frac{9}{x} \)
\( 2 \cdot x = 6 \cdot 9 \implies 2x = 54 \implies x = \frac{54}{2} = 27 \).
Exemplo 2: \( \frac{1}{3} = \frac{x}{12} \)
\( 1 \cdot 12 = 3 \cdot x \implies 12 = 3x \implies x = \frac{12}{3} = 4 \).
Exemplo 3: \( \frac{x}{10} = \frac{6}{5} \)
\( 5 \cdot x = 6 \cdot 10 \implies 5x = 60 \implies x = \frac{60}{5} = 12 \).
Exemplo 4: \( \frac{8}{x} = \frac{2}{15} \)
\( 8 \cdot 15 = 2 \cdot x \implies 120 = 2x \implies x = \frac{120}{2} = 60 \).
2. Razão entre perímetros de retângulos
Retângulo A: \( 5 \, cm \) e \( 10 \, cm \).
Retângulo B: \( 9 \, cm \) e \( 16 \, cm \).
Perímetro de A: \( P_A = 2 \cdot (5 + 10) = 2 \cdot 15 = 30 \, cm \).
Perímetro de B: \( P_B = 2 \cdot (9 + 16) = 2 \cdot 25 = 50 \, cm \).
Razão: \( \frac{P_A}{P_B} = \frac{30}{50} = \frac{3}{5} \).
3. Peso líquido e peso bruto
Peso líquido: \( 400 \, g \).
Peso bruto: \( 450 \, g \).
Razão: \( \frac{400}{450} = \frac{8}{9} \).
4. Funcionários com ensino médio e superior
A razão é \( 13:4 \) (médio:superior). O total de funcionários é: \( 13 + 4 = 17 \).
A fração do total que representa funcionários com ensino superior é: \( \frac{4}{17} \).
5. Funcionários restantes
Inicialmente: \( 36 \) funcionários.
\( \frac{1}{12} \) pediu demissão: \( \frac{1}{12} \cdot 36 = 3 \).
Restaram \( 36 – 3 = 33 \).
Transferências: \( \frac{3}{11} \cdot 33 = 9 \).
Funcionários atuais: \( 33 – 9 = 24 \).
Razão em relação ao total inicial: \( \frac{24}{36} = \frac{2}{3} \).
6. Divisão proporcional
Quantia total: \( R\$ \, 360.000 \).
Se o setor B recebe \( x \), temos:
\( A = 1,2x \) e \( C = 0,8x \).
Somando: \( x + 1,2x + 0,8x = 3x = 360.000 \implies x = 120.000 \).
Setor A: \( 1,2 \cdot 120.000 = R\$ \, 144.000 \).
Conclusão
As razões e proporções aparecem em múltiplas situações práticas, desde medições e mapas até cálculos de repartição. Saber manipular frações e proporções corretamente é fundamental para resolver problemas com segurança.
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1. Uma herança de \( R\$ \, 96.000 \) deve ser dividida entre três irmãos nas razões \( 2:3:5 \). Quanto cada um receberá?
Soma das partes: \( 2 + 3 + 5 = 10 \).
Valor de cada parte: \( 96.000 \div 10 = 9.600 \).
Primeiro irmão: \( 2 \times 9.600 = R\$ \, 19.200 \).
Segundo irmão: \( 3 \times 9.600 = R\$ \, 28.800 \).
Terceiro irmão: \( 5 \times 9.600 = R\$ \, 48.000 \).
2. Um químico precisa misturar duas soluções de álcool a 30% e 70% para obter 100 litros de uma mistura a 50%. Em que proporção ele deve misturar as duas soluções?
Seja \( x \) a quantidade da solução a 30% e \( y \) a de 70%. Temos:
\( x + y = 100 \).
A quantidade de álcool: \( 0,30x + 0,70y = 50 \).
\( y = 100 – x \).
Substituindo: \( 0,30x + 0,70(100 – x) = 50 \).
\( 0,30x + 70 – 0,70x = 50 \implies -0,40x = -20 \implies x = 50 \).
Logo, \( x = 50 \, L \) (30%) e \( y = 50 \, L \) (70%).
3. Um mapa está na escala \( 1 : 200.000 \). Qual é a distância real, em km, correspondente a um trecho que mede 7,5 cm no mapa?
Pela escala: \( 1 \, cm \to 200.000 \, cm \).
Logo: \( 7,5 \, cm \to x \).
\( x = 7,5 \cdot 200.000 = 1.500.000 \, cm \).
Convertendo: \( 1.500.000 \, cm = 15 \, km \).
4. Um carro percorreu 240 km em 3 horas e outro percorreu 300 km em 4 horas. Qual é a razão entre as velocidades médias dos dois carros?
Velocidade do carro 1: \( v_1 = \frac{240}{3} = 80 \, km/h \).
Velocidade do carro 2: \( v_2 = \frac{300}{4} = 75 \, km/h \).
Razão: \( \frac{v_1}{v_2} = \frac{80}{75} = \frac{16}{15} \).
5. Uma maquete foi construída na escala \( 1:50 \) e sua altura é 12 cm. Qual é a altura real do prédio?
\( \frac{1}{50} = \frac{12}{x} \implies x = 12 \cdot 50 = 600 \, cm = 6 \, m \).
