Álgebra Linear
As transformações lineares planas são funções matemáticas que mapeiam pontos de um plano para outro plano, preservando as operações de soma de vetores e multiplicação por escalar. Essas transformações são amplamente utilizadas em geometria analítica, computação gráfica, modelagem 3D e até mesmo em análises estatísticas de dados multidimensionais.
O que é uma Transformação Linear?
Formalmente, uma transformação linear é uma função \( T \) que leva vetores de um espaço vetorial \( U \) para outro espaço vetorial \( V \), obedecendo às seguintes propriedades:
2. \( T(\alpha \mathbf{u}) = \alpha \, T(\mathbf{u}) \), para todo escalar \( \alpha \).
Isso significa que a transformação preserva a estrutura vetorial do espaço. Na prática, em planos \( \mathbb{R}^2 \), as transformações lineares podem ser representadas por multiplicações de matrizes.
Transformações Representadas por Matrizes
Para um vetor \( \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \), uma transformação linear \( T \) pode ser escrita como:
Se:
então:
Exemplo Prático
Considere a matriz:
Essa transformação mantém o eixo \( x \) e inverte o sinal do eixo \( y \). Se aplicarmos \( T \) ao vetor \( \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \), temos:
Visualmente, isso significa que o ponto (2,3) foi refletido no eixo x, transformando-se em (2,-3).
Aplicações das Transformações Lineares
- Computação Gráfica: Rotacionar, ampliar ou inverter imagens.
- Modelagem 3D: Posicionar e transformar objetos tridimensionais em ambientes virtuais.
- Geometria Analítica: Resolver problemas envolvendo mudanças de sistemas de coordenadas.
- Análise de Dados: Projeções de dados em planos para redução de dimensionalidade (PCA).
Transformações Especiais
Alguns tipos comuns de transformações lineares são:
- Dilatação: Multiplica os vetores por um fator de escala, alterando seu tamanho.
- Reflexão: Espelha os vetores em torno de um eixo.
- Cisalhamento: Inclina figuras, deformando ângulos.
- Rotação: Gira os vetores em torno da origem por um ângulo \( \theta \), usando a matriz: \[ R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \]
Exemplo de Rotação
Rotacionar o vetor \( \mathbf{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \) por \( 90^\circ \):
Logo:
O vetor (1,0) foi rotacionado para (0,1), como esperado.
Conclusão
As transformações lineares planas são ferramentas essenciais para compreender e manipular espaços vetoriais. Seja na matemática pura ou em aplicações tecnológicas como jogos, design 3D e gráficos computacionais, entender esses conceitos é fundamental para dominar a álgebra linear aplicada.
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Exercício 1
Considere a transformação linear \( T : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \) dada por \( T(x, y) = (2x, 3y) \). Determine a imagem do vetor \( v = (1, 2) \).
Aplicando a transformação:
\( T(1, 2) = (2 \cdot 1, 3 \cdot 2) = (2, 6) \).
Exercício 2
Seja \( T(x, y) = (x – y, x + y) \). Calcule \( T(3, -1) \).
Temos:
\( T(3, -1) = (3 – (-1), 3 + (-1)) = (4, 2) \).
Exercício 3
A transformação \( T \) é definida por \( T(x, y) = (y, -x) \). Determine \( T(2, 5) \).
Substituindo os valores:
\( T(2, 5) = (5, -2) \).
Exercício 4
Considere a matriz \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \). Calcule \( T(1, 3) = A \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} \).
\( T(1,3) = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 6 \\ 3 \end{pmatrix} = (7, 3) \).
Exercício 5
Seja \( T(x, y) = (3x – y, 2x + y) \). Determine \( T(-1, 4) \).
\( T(-1, 4) = (3(-1) – 4, 2(-1) + 4) = (-3 – 4, -2 + 4) = (-7, 2) \).
Exercício 6
Considere a matriz de rotação de \( 90^\circ \): \( R = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \). Determine \( R \cdot (1, 0) \).
\( R \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \).
Exercício 7
Verifique a imagem de \( v = (2, 2) \) sob \( T(x, y) = (x+y, x-y) \).
\( T(2, 2) = (2 + 2, 2 – 2) = (4, 0) \).
Exercício 8
Dada a matriz \( A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{pmatrix} \), determine \( A \cdot (3, 4) \).
\( A \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix} \).
Exercício 9
Seja \( T(x, y) = (x, -y) \). Determine a imagem do triângulo com vértices \( A(1,1), B(2,1), C(1,3) \).
Aplicando \( T \):
- \( T(A) = (1, -1) \),
- \( T(B) = (2, -1) \),
- \( T(C) = (1, -3) \).
Exercício 10
Considere a transformação de cisalhamento \( T(x, y) = (x + 2y, y) \). Determine \( T(1, 1) \).
\( T(1, 1) = (1 + 2(1), 1) = (3, 1) \).
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