📘 Questão 28 – Geometria – Altura Relativa à Hipotenusa
Um triângulo retângulo tem sua hipotenusa medindo \(5\ \text{cm}\) e a altura relativa a essa hipotenusa com medida de \(2{,}4\ \text{cm}\). Com as informações fornecidas, é possível determinar as medidas, em centímetro, dos catetos? Justifique. Se não for possível, explicite pelo menos uma informação que tornaria possível resolver o problema.
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1. Informações fornecidas:
– Hipotenusa \(c = 5\ \text{cm}\)
– Altura relativa à hipotenusa: \(h = 2{,}4\ \text{cm}\)
2. Aplicando a fórmula da área:
A área \(A\) de um triângulo pode ser calculada por:
\[
A = \frac{c \cdot h}{2} = \frac{5 \cdot 2{,}4}{2} = \frac{12}{2} = 6\ \text{cm}^2
\]
Portanto, conhecemos a área e a hipotenusa. Mas isso não é suficiente para determinar os catetos, pois eles podem variar mantendo a mesma área.
3. Relação métrica:
Sabemos que:
\[
h^2 = m \cdot n
\quad \text{e} \quad
m + n = c = 5
\]
Mas com apenas duas equações e três incógnitas (\(m, n, h\)), não é possível determinar unicamente os catetos \(a\) e \(b\), pois:
\[
a^2 = c \cdot m, \quad b^2 = c \cdot n
\]
sem saber o valor de \(m\) ou \(n\), não podemos achar \(a\) nem \(b\).
4. Conclusão:
Não é possível determinar os catetos apenas com a hipotenusa e a altura relativa a ela.
Seria necessário conhecer pelo menos:
- O valor de um dos catetos, ou
- Uma das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.
✅ Resposta: Não, pois faltam dados.
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