O Princípio Fundamental da Contagem (PFC) é uma ferramenta poderosa e simples que nos ajuda a calcular o número total de possibilidades em situações que envolvem escolhas ou etapas. Ele é amplamente utilizado na análise combinatória e está presente em muitas situações do dia a dia.
Neste artigo, vamos entender o que é o Princípio Fundamental da Contagem, como aplicá-lo e como ele simplifica problemas aparentemente complexos.
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O Que é o Princípio Fundamental da Contagem?
De maneira simples, o PFC afirma que, se temos duas ou mais etapas independentes para realizar, o número total de possibilidades é dado pelo produto do número de opções em cada etapa.
Definição:
Se uma tarefa pode ser realizada de n maneiras e outra tarefa subsequente pode ser realizada de m maneiras, então o total de maneiras de realizar ambas as tarefas é: n×m
Esse princípio se aplica a qualquer número de etapas ou escolhas.
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Exemplos Práticos do Dia a Dia
1. Montando um Look
Imagine que você tem 3 camisetas (azul, branca e preta) e 2 calças (jeans e social). De quantas maneiras diferentes você pode combinar uma camiseta e uma calça?
Pelo PFC:
- Opções de camisetas: 3
- Opções de calças: 2
- Total de combinações:
3×2 = 6
As combinações possíveis são:
- Camiseta azul com calça jeans.
- Camiseta azul com calça social.
- Camiseta branca com calça jeans.
- Camiseta branca com calça social.
- Camiseta preta com calça jeans.
- Camiseta preta com calça social.
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2. Escolhendo uma Refeição
Um restaurante oferece 3 opções de entrada, 4 pratos principais e 2 sobremesas. Quantas combinações completas (entrada + prato principal + sobremesa) podem ser feitas?
Pelo PFC:
- Entradas: 3
- Pratos principais: 4
- Sobremesas: 2
- Total de combinações:
3×4×2 = 24
Isso significa que você tem 24 formas diferentes de montar sua refeição.
3. Criando uma Senha
Uma senha é formada por 3 dígitos, onde cada dígito pode variar de 0 a 9. Quantas senhas diferentes podem ser criadas?
Pelo PFC:
- Opções para o primeiro dígito: 10 (de 0 a 9)
- Opções para o segundo dígito: 10
- Opções para o terceiro dígito: 10
- Total de senhas:
10×10×10 = 1.000
Há 1.000 senhas possíveis.
Lista de Exercícios Princípio Fundamental da Contagem
Questão 1 – Um homem vai a um restaurante disposto a comer um só prato de carne e uma só sobremesa. O cardápio oferece oito pratos distintos de carne e cinco pratos diferentes de sobremesa. De quantas formas pode o homem fazer sua refeição?
Ver Solução
1 – Análise Combinatória – Princípio Fundamental da Contagem
Esse problema envolve a aplicação do Princípio Fundamental da Contagem, que é um conceito base da análise combinatória. O objetivo é calcular o número total de combinações possíveis de uma refeição composta por um prato de carne e uma sobremesa, onde cada escolha é independente.
2 – Entendendo o Enunciado
O enunciado nos informa:
- Existem 8 opções de pratos de carne.
- Existem 5 opções de sobremesa.
- Cada refeição consiste na escolha de 1 prato de carne e 1 sobremesa.
A tarefa é descobrir de quantas formas diferentes o homem pode fazer sua refeição combinando as opções disponíveis.
3 – Cálculo
Pelo Princípio Fundamental da Contagem, multiplicamos o número de opções de cada categoria:
Total de combinações = número de pratos de carne × número de sobremesas
Substituímos os valores:
Total de combinações = 8×5 = 40
4 – Resposta
O homem pode fazer sua refeição de 40 formas diferentes, combinando as opções de carne e sobremesa disponíveis no cardápio.
Questão 2 – Uma moça possui 5 blusas e 6 saias. De quantas formas ela pode vestir uma blusa e uma saia?
Ver Solução
1 – Análise Combinatória – Princípio Fundamental da Contagem
Essa questão também utiliza o Princípio Fundamental da Contagem, onde cada escolha (blusa ou saia) é independente da outra. O objetivo é calcular quantas combinações de roupas diferentes a moça pode formar ao escolher uma blusa e uma saia.
2 – Entendendo o Enunciado
O enunciado informa:
- 5 opções de blusas.
- 6 opções de saias.
- A moça deve escolher 1 blusa e 1 saia para compor sua vestimenta.
O objetivo é determinar o total de combinações possíveis entre essas opções.
3 – Cálculo
Pelo Princípio Fundamental da Contagem, multiplicamos o número de opções de cada categoria:
Total de combinações =(número de blusas)×(número de saias)
Substituímos os valores:
Total de combinações = 5×6 = 30
4 – Resposta
A moça pode vestir-se de 30 maneiras diferentes, combinando as opções de blusas e saias disponíveis.
Questão 3 – Num banco de automóvel o assento pode ocupar 6 posições diferentes e o encosto 5 posições, independentemente da posição do assento. Combinando assento e encosto, quantas posições diferentes esse banco pode assumir?
Ver Solução
1 – Análise Combinatória –Princípio Fundamental da Contagem
Esta questão utiliza o Princípio Fundamental da Contagem, onde a posição do assento e a posição do encosto são escolhas independentes. O objetivo é calcular o número total de combinações possíveis entre essas duas variáveis.
2 – Entendendo o Enunciado
O enunciado informa:
- 6 posições diferentes para o assento.
- 5 posições diferentes para o encosto.
- Cada combinação é formada por uma escolha de posição do assento e uma escolha de posição do encosto.
O objetivo é determinar o total de combinações possíveis de posições entre assento e encosto.
3 – Cálculo
Aplicando o Princípio Fundamental da Contagem, multiplicamos o número de opções de cada variável:
Total de combinações =(número de posições do assento) × (número de posições do encosto)
Substituímos os valores:
Total de combinações = 6×5 = 30
4 – Resposta
O banco do automóvel pode assumir 30 posições diferentes, combinando as opções de posição do assento e do encosto.
Questão 4 – Numa festa existem 80 homens e 90 mulheres. Quantos casais diferentes podem ser formados?
Ver Solução
1 – Análise Combinatória – Princípio Fundamental da Contagem
Este problema utiliza o Princípio Fundamental da Contagem, onde a escolha de um homem e a escolha de uma mulher são eventos independentes. O objetivo é calcular o número total de casais possíveis que podem ser formados com as pessoas disponíveis na festa.
2 – Entendendo o Enunciado
O enunciado informa:
- 80 homens disponíveis na festa.
- 90 mulheres disponíveis na festa.
- Um casal é formado por um homem e uma mulher.
O objetivo é determinar quantos casais diferentes podem ser formados combinando os homens e as mulheres presentes.
3 – Cálculo
Pelo Princípio Fundamental da Contagem, multiplicamos o número de opções de cada categoria:
Total de casais = (número de homens)×(número de mulheres)
Substituímos os valores:
Total de casais = 80×90 = 7200
4 – Resposta
Na festa, podem ser formados 7200 casais diferentes, combinando os homens e as mulheres disponíveis.
Questão 5 – Um edifício tem 8 portas. De quantas formas uma pessoa poderá entrar no edifício e sair por uma porta diferente da que usou para entrar?
Ver Solução
1 – Análise Combinatória – Princípio Fundamental da Contagem
Neste problema, aplicamos o Princípio Fundamental da Contagem. A pessoa deve escolher uma porta para entrar e outra porta diferente para sair. O objetivo é calcular o número total de combinações possíveis entre a entrada e saída, respeitando a restrição.
2 – Entendendo o Enunciado
O enunciado informa:
- 8 portas disponíveis.
- A pessoa pode entrar por qualquer uma das 8 portas.
- Para sair, deve escolher uma porta diferente da usada na entrada.
O objetivo é determinar quantas combinações diferentes de entrada e saída são possíveis, respeitando a restrição.
3 – Cálculo
- Escolha da porta de entrada:
A pessoa tem 8 opções para escolher a porta de entrada. - Escolha da porta de saída:
Após entrar, a pessoa não pode sair pela mesma porta, restando 7 opções para a saída. - Multiplicamos as opções:
Total de combinações =(número de portas para entrada) × (número de portas para saída)
Substituímos os valores:
Total de combinações = 8×7 = 56
4 – Resposta
A pessoa pode entrar e sair do edifício de 56 maneiras diferentes, escolhendo portas distintas para entrada e saída.
Questão 6 – Num concurso com 12 participantes, se nenhum puder ganhar mais que um prêmio, de quantas maneiras poderão ser distribuídos um primeiro e um segundo prêmios?
Ver Solução
1 – Análise Combinatória – Princípio Fundamental da Contagem
Neste problema, utilizamos o Princípio Fundamental da Contagem para calcular o número de formas de distribuir os prêmios, considerando que a ordem importa (primeiro e segundo prêmios). Além disso, um participante não pode ganhar mais de um prêmio.
2 – Entendendo o Enunciado
O enunciado informa:
- 12 participantes disponíveis.
- Dois prêmios serão distribuídos: um primeiro prêmio e um segundo prêmio.
- A ordem importa, ou seja, quem recebe o primeiro prêmio é diferente de quem recebe o segundo.
O objetivo é determinar de quantas maneiras os prêmios podem ser atribuídos.
3 – Cálculo
- Escolha do primeiro prêmio:
Há 12 opções de participantes para receber o primeiro prêmio. - Escolha do segundo prêmio:
Após a atribuição do primeiro prêmio, restam 11 participantes para receber o segundo prêmio. - Multiplicamos as opções:
Total de combinações =(opções para o primeiro prêmio) × (opções para o segundo prêmio)
Substituímos os valores: Total de combinações = 12×11 = 132
4 – Resposta
Os prêmios podem ser distribuídos de 132 maneiras diferentes, respeitando que a ordem importa e que nenhum participante pode ganhar mais de um prêmio.
Questão 7 – Um homem possui 10 ternos, 12 camisas e 5 pares de sapatos. De quantas formas poderá ele vestir um terno, uma camisa e um par de sapatos?
Ver Solução
1 – Análise Combinatória – Princípio Fundamental da Contagem
Esse problema aplica o Princípio Fundamental da Contagem, onde cada escolha (terno, camisa e sapato) é independente das outras. O objetivo é calcular o número total de combinações possíveis de roupas que o homem pode vestir.
2 – Entendendo o Enunciado
O enunciado informa:
- 10 opções de ternos.
- 12 opções de camisas.
- 5 opções de pares de sapatos.
- O homem deve vestir um terno, uma camisa e um par de sapatos.
O objetivo é determinar o número total de combinações possíveis entre essas opções.
3 – Cálculo
Pelo Princípio Fundamental da Contagem, multiplicamos o número de opções de cada categoria:
Total de combinações =(número de ternos) × (número de camisas) × (número de sapatos)
Substituímos os valores:
Total de combinações = 10×12×5 = 600
4 – Resposta
O homem pode vestir-se de 600 maneiras diferentes, combinando as opções de terno, camisa e sapato disponíveis.
Questão 8 – Um automóvel é oferecido pelo fabricante em 7 cores diferentes, podendo o comprador optar entre os motores 2000 cc e 4000 cc. Sabendo-se que os automóveis são fabricados nas versões “standard”, “luxo” e “superluxo”, quantas são as alternativas do comprador?
Ver Solução
1 – Análise Combinatória – Princípio Fundamental da Contagem
Este problema utiliza o Princípio Fundamental da Contagem, onde cada escolha (cor, motor e versão) é independente. O objetivo é calcular o número total de combinações possíveis de automóveis que o comprador pode escolher.
2 – Entendendo o Enunciado
O enunciado informa:
- 7 opções de cores.
- 2 opções de motores (2000 cc e 4000 cc).
- 3 versões de acabamento (“standard”, “luxo” e “superluxo”).
- Cada automóvel é caracterizado por uma combinação de cor, motor e versão.
O objetivo é determinar o total de combinações possíveis entre essas características.
3 – Cálculo
Pelo Princípio Fundamental da Contagem, multiplicamos o número de opções de cada categoria:
Total de combinações = (número de cores) × (número de motores) × (número de versões)
Substituímos os valores:
Total de combinações = 7×2×3 = 42
4 – Resposta
O comprador tem 42 alternativas diferentes para escolher seu automóvel, combinando as opções de cores, motores e versões.
Questão 9 – De quantas formas podemos responder a 12 perguntas de um questionário, cujas respostas para cada pergunta são: sim ou não?
Ver Solução
1 – Análise Combinatória – Princípio Fundamental da Contagem
Este problema também utiliza o Princípio Fundamental da Contagem, onde cada pergunta tem duas opções de resposta: sim ou não. O objetivo é calcular o número total de combinações possíveis para responder ao questionário.
2 – Entendendo o Enunciado
O enunciado informa:
- O questionário contém 12 perguntas.
- Cada pergunta tem 2 opções de resposta: sim ou não.
- As respostas de uma pergunta são independentes das outras.
O objetivo é determinar o número total de formas possíveis de responder às 12 perguntas.
3 – Cálculo
Cada pergunta pode ser respondida de 2 maneiras, e como há 12 perguntas, o número total de combinações é dado por:
Total de combinações = 212
Calculando: 212 = 4096
4 – Resposta
Podemos responder ao questionário de 4.096 maneiras diferentes, combinando as respostas sim e não para as 12 perguntas.
Questão 10 – Uma prova consta de 20 testes do tipo verdadeiro ou falso. De quantas formas uma pessoa poderá responder aos 20 testes?
Ver Solução
1 – Análise Combinatória – Princípio Fundamental da Contagem
Este problema também utiliza o Princípio Fundamental da Contagem, onde cada item do teste tem duas opções de resposta: Verdadeiro (V) ou Falso (F). O objetivo é calcular o número total de sequências possíveis de respostas para o teste.
2 – Entendendo o Enunciado
O enunciado informa:
- O teste contém 20 itens.
- Para cada item, há 2 opções de resposta: V ou F.
- As respostas de um item não influenciam as respostas dos outros.
Nosso objetivo é determinar o número total de sequências possíveis de respostas no formato (a1, a2, …, a20), onde cada aia_i pode ser V ou F.
3 – Cálculo
Cada item pode ser respondido de 2 formas, e como há 20 itens, o número total de combinações é dado por:
Total de combinações = 220
Calculando:
220 = 1048576
4 – Resposta
O número total de sequências possíveis de respostas é 1.048.576, considerando todas as combinações de V e F para os 20 itens do teste.
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Por Que o Princípio Fundamental da Contagem É Importante?
O PFC é a base de muitos conceitos na análise combinatória. Ele nos ajuda a resolver problemas de maneira rápida e eficiente, sem precisar listar manualmente todas as possibilidades. Além disso, ele é um recurso indispensável para calcular permutações, arranjos e combinações.
Aplicações do PFC
- Planejamento e Organização O PFC pode ser usado para planejar eventos, montar cronogramas ou organizar tarefas com diferentes opções.
- Concursos e Provas Em questões de múltipla escolha, o PFC ajuda a calcular o número de combinações possíveis de respostas.
- Jogos e Senhas Jogos de tabuleiro, códigos de segurança e combinações de objetos utilizam o PFC para determinar o total de possibilidades.
Dicas para Usar o PFC
- Divida o Problema em Etapas
Identifique as etapas ou escolhas que precisam ser feitas e determine o número de opções disponíveis para cada uma. - Multiplique as Opções de Cada Etapa
Certifique-se de que as etapas são independentes (uma escolha não afeta a outra). Em seguida, multiplique os valores. - Verifique o Resultado
Reveja as etapas para garantir que todas as opções foram consideradas.
Curiosidade: O PFC no Cotidiano
O Princípio Fundamental da Contagem aparece mais do que você imagina. Desde organizar o guarda-roupa até planejar viagens ou entender as chances de ganhar em jogos, ele está presente. Por exemplo:
- Viagens: Se você tem 3 destinos para visitar e pode começar por qualquer um deles, o PFC ajuda a calcular todas as rotas possíveis.
- Tecnologia: Na criação de combinações únicas para sistemas de segurança.
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Conclusão
O Princípio Fundamental da Contagem é uma ferramenta matemática simples, mas extremamente útil, para resolver problemas de contagem dentro da analise combinatória, assim como a permutação, o arranjo e a combinação. Com ele, você pode calcular possibilidades em diversas situações do dia a dia, desde escolhas de roupas até questões de concursos.
Ao praticar o PFC em situações práticas, você perceberá como ele torna os problemas mais organizados e fáceis de resolver. E o melhor: não precisa de fórmulas complexas para aplicar esse conceito!
