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Questão de Analise Combinatória – Combinação
Prove que o produto de m fatores inteiros positivos e consecutivos é divisível por m!
Sugestão: Procure relacionar o produto dado com alguma fórmula conhecida.
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1 – Análise Combinatória – Prova de Divisibilidade
O problema pede que provemos que o produto de mm fatores inteiros positivos e consecutivos é divisível por m!. A estratégia será relacionar o produto com o conceito de combinações e permutações.
2 – Entendendo o problema
Dado mm inteiros consecutivos, por exemplo, n, n + 1, n + 2, … ,n + m − 1, precisamos mostrar que:
P = n⋅(n + 1)⋅(n + 2)⋅ ⋯ ⋅(n + m − 1)
é divisível por m!, onde:
m! = 1⋅2⋅3⋅ ⋯ ⋅m
3 – Prova
Expressão como combinação:
Considere a combinação C(n+m-1, m), que é o número de formas de escolher mm elementos de um conjunto com n + m – 1 elementos.
A fórmula é:
Agora, expandimos o fatorial no numerador para separar mm fatores consecutivos:
Relação com o produto P:
O produto dos mm fatores consecutivos é o numerador da combinação:
P = n⋅(n + 1)⋅(n + 2)⋅ ⋯ ⋅(n + m − 1)
Da fórmula da combinação, vemos que:
P = C(n + m − 1, m)⋅m!
Conclusão:
Como C(n + m – 1, m) é sempre um número inteiro (por definição de combinações), concluímos que:
P = C(n + m − 1, m)⋅m! implica que P é divisível por m!
4 – Resposta
O produto de mm inteiros positivos consecutivos é divisível por m!, pois pode ser expresso como o numerador de uma combinação multiplicado por m!, garantindo a divisibilidade.
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