Combinação Exercícios com solução

1 – Análise Combinatória – Prova de Divisibilidade

O problema pede que provemos que o produto de mm fatores inteiros positivos e consecutivos é divisível por m!. A estratégia será relacionar o produto com o conceito de combinações e permutações.

2 – Entendendo o problema

Dado mm inteiros consecutivos, por exemplo, n, n + 1, n + 2, … ,n + m − 1, precisamos mostrar que:

P = n⋅(n + 1)⋅(n + 2)⋅ ⋯ ⋅(n + m − 1)

é divisível por m!, onde:

m! = 1⋅2⋅3⋅ ⋯ ⋅m

3 – Prova

Expressão como combinação:
Considere a combinação C(n+m-1, m), que é o número de formas de escolher mm elementos de um conjunto com n + m – 1 elementos.

A fórmula é:

Agora, expandimos o fatorial no numerador para separar mm fatores consecutivos:

Relação com o produto P:
O produto dos mm fatores consecutivos é o numerador da combinação:

P = n⋅(n + 1)⋅(n + 2)⋅ ⋯ ⋅(n + m − 1)

Da fórmula da combinação, vemos que:

P = C(n + m − 1, m)⋅m!

Conclusão:
Como C(n + m – 1, m) é sempre um número inteiro (por definição de combinações), concluímos que:

P = C(n + m − 1, m)⋅m! implica que P é divisível por m!

4 – Resposta

O produto de mm inteiros positivos consecutivos é divisível por m!, pois pode ser expresso como o numerador de uma combinação multiplicado por m!, garantindo a divisibilidade.

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