Definição de Probabilidade (clássica, frequentista, axiomática)

1) Abordagens da Probabilidade

📌 Definição Clássica

A probabilidade clássica, também chamada de laplaciana, é usada quando todos os resultados são igualmente prováveis. É calculada pela razão entre os casos favoráveis e o total de casos possíveis:

\( P(A) = \dfrac{n(A)}{n(\Omega)} \)

Exemplo: Ao lançar um dado, a probabilidade de sair um número par é:

\(P=\dfrac{3}{6}=\dfrac12=50\%\)

📊 Definição Frequentista

A abordagem frequentista define probabilidade como o limite da frequência relativa de ocorrência de um evento após muitas repetições de um experimento.

\( P(A) = \lim_{n \to \infty} \dfrac{f}{n} \)

Exemplo: Lançando uma moeda 1.000 vezes, se 520 saíram cara:

\(P \approx \dfrac{520}{1000} = 0,52\)

Isso se aproxima da probabilidade teórica de \(0,5\).

📐 Definição Axiomática

Introduzida por Kolmogorov, a abordagem axiomática baseia-se em três axiomas fundamentais:

\(P(A) \geq 0\) → probabilidade nunca é negativa;
\(P(\Omega) = 1\) → a probabilidade do espaço amostral é igual a 1;
Se \(A\) e \(B\) são mutuamente exclusivos: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\).

Essa abordagem é a mais geral e fundamenta toda a teoria moderna da probabilidade.

2) Exercícios Resolvidos

Exercício 1: Uma urna contém 6 bolas azuis e 4 vermelhas. Qual a probabilidade de retirar uma bola azul?

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Casos favoráveis = 6, casos totais = 10.

\(P = \dfrac{6}{10} = 0,6 = 60\%\)

Exercício 2: Ao lançar duas moedas, qual a probabilidade de sair ao menos uma cara?

Ver solução

Probabilidade complementar: nenhum cara = RR.

\(P = 1 – \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4} = 75\%\)

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Conclusão

A probabilidade pode ser entendida por diferentes perspectivas: clássica, frequentista e axiomática. Essas abordagens se complementam e são fundamentais para entender os conceitos de eventos, frequência relativa e experimentos aleatórios.

5) Lista de Exercícios — Definição de Probabilidade

Resolva e clique para ver a solução detalhada. Fórmulas renderizadas via MathJax.

Questão 1 (Clássica). Ao lançar um dado honesto, qual a probabilidade de sair um número maior que 4?

A) \( \dfrac{1}{6} \)
B) \( \dfrac{1}{3} \)
C) \( \dfrac{1}{2} \)
D) \( \dfrac{2}{3} \)
E) \( \dfrac{5}{6} \)

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Favoráveis: \(\{5,6\}\) (2). Totais: 6. \(P=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}\). Gabarito: B.

Questão 2 (Clássica). Uma urna contém 5 vermelhas, 3 azuis e 2 verdes. Qual a probabilidade de retirar uma bola não vermelha?

A) \( \dfrac{2}{5} \)
B) \( \dfrac{1}{2} \)
C) \( \dfrac{3}{5} \)
D) \( \dfrac{4}{5} \)
E) \( \dfrac{7}{10} \)

Ver solução

Não vermelhas: \(3+2=5\). Total: \(10\). \(P(\text{não vermelha})=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}\). Gabarito: B.

Questão 3 (Frequentista). Em 1.000 lançamentos de uma moeda honesta, obtiveram-se 530 caras. A frequência relativa de cara é:

A) 0,50
B) 0,51
C) 0,53
D) 0,55
E) 0,57

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\( f_r=\dfrac{530}{1000}=0{,}53 \). Gabarito: C.

Questão 4 (Clássica). Uma carta é retirada ao acaso de um baralho comum (52 cartas). Probabilidade de sair ouros:

A) \( \dfrac{1}{13} \)
B) \( \dfrac{1}{4} \)
C) \( \dfrac{12}{52} \)
D) \( \dfrac{13}{26} \)
E) \( \dfrac{2}{13} \)

Ver solução

Há 4 naipes equiprováveis. \(P(\text{ouros})=\dfrac{13}{52}=\dfrac{1}{4}\). Gabarito: B.

Questão 5 (Axiomática). Em \(\Omega\), com \(A=\{2,4,6\}\) e \(B=\{1,3,5\}\) mutuamente exclusivos, sabendo que \(P(A)=\dfrac{1}{2}\) e \(P(B)=\dfrac{1}{2}\), determine \(P(A\cup B)\).

A) \( \dfrac{1}{4} \)
B) \( \dfrac{1}{2} \)
C) \( \dfrac{2}{3} \)
D) \( 1 \)
E) \( 0 \)

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Axioma da aditividade (eventos disjuntos): \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)=\dfrac12+\dfrac12=1\). Gabarito: D.

Questão 6 (Clássica). Lançam-se dois dados honestos. Probabilidade de a soma ser 8:

A) \( \dfrac{5}{36} \)
B) \( \dfrac{1}{9} \)
C) \( \dfrac{1}{6} \)
D) \( \dfrac{7}{36} \)
E) \( \dfrac{1}{12} \)

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Pares: \((2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)\) → 5 entre 36. \(P=\dfrac{5}{36}\). Gabarito: A.

Questão 7 (Clássica). Urna com 12 bolas numeradas de 1 a 12. Probabilidade de retirar um múltiplo de 3:

A) \( \dfrac{1}{4} \)
B) \( \dfrac{1}{3} \)
C) \( \dfrac{5}{12} \)
D) \( \dfrac{1}{2} \)
E) \( \dfrac{7}{12} \)

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Múltiplos: \(\{3,6,9,12\}\) (4). \(P=\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}\). Gabarito: B.

Questão 8 (Frequentista). O time X jogou 40 partidas e venceu 24. A frequência relativa de vitórias é:

A) 0,45
B) 0,50
C) 0,55
D) 0,60
E) 0,65

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\(f_r=\dfrac{24}{40}=0{,}60\). Gabarito: D.

Questão 9 (Axiomática). Três eventos disjuntos \(A,B,C\) em \(\Omega\) com \(P(A)=0{,}3\) e \(P(B)=0{,}4\). Sabendo que \(P(\Omega)=1\), determine \(P(C)\).