MMC, MDC e Números Primos
Descubra os fundamentos da divisibilidade, aprenda como calcular o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) e o Máximo Divisor Comum (MDC), e entenda a importância dos números primos e dos primos entre si.
O que é Divisibilidade?
Dizemos que um número a é divisível por um número b (com \(b \neq 0\)) quando existe um número inteiro c tal que:
a = b · c
Exemplo: 20 é divisível por 4 porque \(20 = 4 \cdot 5\).
Mínimo Múltiplo Comum (MMC)
O MMC de dois números naturais é o menor número, diferente de zero, que é múltiplo de ambos.
M(5) = {5, 10, 15, 20, 25, 30, …}
M(6) = {6, 12, 18, 24, 30, 36, …}
O menor múltiplo comum é 30. Portanto: \(\mathrm{MMC}(5, 6) = 30\).
Como encontrar o MMC?
Podemos encontrar o MMC pela fatoração em primos ou pela fatoração simultânea.
Exemplo: Calcule o MMC de 36 e 80.
80 = \(2^4 \cdot 5\)
Pegamos as maiores potências de cada número primo:
\(\mathrm{MMC}(36, 80) = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5 = 720.\)
Máximo Divisor Comum (MDC)
O MDC de dois números é o maior número que divide ambos sem deixar resto.
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
D(8) = {1, 2, 4, 8}
Divisores comuns: {1, 2, 4}. O maior deles é 4.
Logo: \(\mathrm{MDC}(8, 12) = 4.\)
Como encontrar o MDC?
Assim como no MMC, podemos utilizar a fatoração em primos. Porém, no MDC, escolhemos apenas os fatores comuns com menor potência.
Exemplo: 24 = \(2^3 \cdot 3\) e 48 = \(2^4 \cdot 3\).
\(\mathrm{MDC}(24, 48) = 2^3 \cdot 3 = 24.\)
Números Primos
Um número primo é aquele que possui apenas dois divisores positivos: 1 e ele mesmo.
- Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13…
- O número 2 é o único primo par.
- 10 não é primo pois divide por 1, 2, 5 e 10.
Primos entre si
Dois números são primos entre si se o único divisor comum entre eles for 1, mesmo que nenhum deles seja primo individualmente.
Resumo Rápido
- MMC: menor múltiplo comum entre dois ou mais números.
- MDC: maior divisor comum entre dois ou mais números.
- Primos: números que dividem apenas por 1 e por si mesmos.
- Primos entre si: dois números cujo único divisor comum é 1.
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1) Calcule o MMC de 6 e 8.
6 = 2 × 3, 8 = 2³.
MMC(6, 8) = 2³ × 3 = 24.
2) Calcule o MMC de 12, 15 e 20.
12 = 2² × 3, 15 = 3 × 5, 20 = 2² × 5.
MMC = 2² × 3 × 5 = 60.
3) Determine o MDC de 18 e 24.
18 = 2 × 3², 24 = 2³ × 3.
MDC(18, 24) = 2 × 3 = 6.
4) Calcule o MDC de 42 e 56.
42 = 2 × 3 × 7, 56 = 2³ × 7.
MDC(42, 56) = 2 × 7 = 14.
5) Um número é divisível por 3 e 4. Qual o menor número positivo que satisfaz essa condição?
O menor número múltiplo de 3 e 4 é o MMC(3, 4) = 12.
6) Liste os divisores de 36 e 48 e determine o MDC entre eles.
D(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}.
D(48) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}.
MDC = 12.
7) Verifique se 17 é um número primo.
17 só é divisível por 1 e por ele mesmo. Portanto, 17 é primo.
8) Verifique se 25 e 36 são primos entre si.
25 = 5², divisores {1, 5, 25}.
36 = 2² × 3², divisores {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}.
O único divisor comum é 1. Portanto, são primos entre si.
9) Determine o MMC e o MDC de 40 e 60.
40 = 2³ × 5, 60 = 2² × 3 × 5.
MDC = 2² × 5 = 20.
MMC = 2³ × 3 × 5 = 120.
10) Qual o menor número positivo divisível por 2, 3, 4, 5 e 6?
MMC(2, 3, 4, 5, 6) = 60.
