Função do 1º grau e/ou função afim: Exercícios Resolvidos

a) Determinar a numeração do sapato para um pé de 27 cm:

A fórmula é:

$$ y = 1{,}25 \cdot 27 + 7 $$

$$ y = 33{,}75 + 7 = 40{,}75 $$

Como não é um número natural, devemos arredondar para o número natural imediatamente superior:

$$ \boxed{41} $$

b) Atividade prática:

Use a fórmula ao contrário: dado um número de sapato (por exemplo, 41), calcule o valor de \( x \) e compare com a medida real do seu pé com uma régua.

Reescrevendo a fórmula:

$$ x = \frac{y – 7}{1{,}25} $$

Se \( y = 41 \):

$$ x = \frac{41 – 7}{1{,}25} = \frac{34}{1{,}25} = 27{,}2 \text{ cm} $$

Compare com sua medida real e veja se é próxima.

✅ Conclusão:

• a) Numeração do sapato para 27 cm: 41
• b) Atividade pessoal: calcular e comparar com medida real do pé

a) Qual(is) dessas leis é(são) de função afim?

Uma função afim tem a forma geral: $$ f(x) = ax + b $$ ou seja, é uma função polinomial de grau 1. Vamos analisar cada item:

• I. \( f(x) = 3x^2 – 5x + 4 \): não é função afim, pois é do 2º grau.
• II. \( g(x) = -2x + \sqrt{3} \): é função afim, está na forma \( ax + b \).
• III. \( h(x) = \dfrac{2}{5}x \): é função afim, está na forma \( ax \) (com \( b = 0 \)).
• IV. \( i(x) = 0{,}01 \): é função afim, uma constante (com \( a = 0 \)).

Resposta: II, III e IV são funções afins.

b) Classifique as funções afins:

• II. \( g(x) = -2x + \sqrt{3} \) → Função polinomial do 1º grau
• III. \( h(x) = \dfrac{2}{5}x \) → Função linear (sem termo independente)
• IV. \( i(x) = 0{,}01 \) → Função constante (sem variável)

c) Coeficientes \( a \) e \( b \) das funções afins:

• II. \( a = -2 \), \( b = \sqrt{3} \)
• III. \( a = \dfrac{2}{5} \), \( b = 0 \)
• IV. \( a = 0 \), \( b = 0{,}01 \)

✅ Conclusão:

• Funções afins: II, III e IV
• Classificação:
  • II → função polinomial do 1º grau
  • III → função linear
  • IV → função constante
• Coeficientes:
  • II: \( a = -2 \), \( b = \sqrt{3} \)
  • III: \( a = \dfrac{2}{5} \), \( b = 0 \)
  • IV: \( a = 0 \), \( b = 0{,}01 \)

a) Calcular \( f(2) \):

Substituímos \( x = 2 \) na expressão da função:

$$ f(2) = 5 \cdot 2 – 2 = 10 – 2 = 8 $$

Resposta: \( \boxed{8} \)

b) Determinar \( x \) para \( f(x) = 0 \):

Igualamos a função a zero:

$$ 5x – 2 = 0 $$

Somamos 2 dos dois lados:

$$ 5x = 2 $$

Dividindo ambos os lados por 5:

$$ x = \frac{2}{5} $$

Resposta: \( \boxed{\frac{2}{5}} \)

✅ Conclusão:

• a) \( f(2) = 8 \)
• b) \( x = \dfrac{2}{5} \)

🔎 Entendendo o enunciado:

Temos um valor fixo de R$ 500,00 (taxa de bombeamento) e um valor variável que depende do volume de concreto utilizado: R$ 250,00 por metro cúbico.

1) Montando a função:

O valor total \( y \) pode ser calculado com:

$$ y = 250x + 500 $$

Onde:

• \( 250x \) representa o custo variável conforme o volume \( x \)
• \( 500 \) representa o custo fixo

2) Analisando as alternativas:

A única que representa corretamente essa função é:

Alternativa d) \( y = 250x + 500 \)

✅ Conclusão:

• Expressão correta: \( \boxed{y = 250x + 500} \)
• Alternativa correta: d)

🔎 Etapa 1 – Modelo da função afim:

Seja \( h(x) = ax + b \). Vamos usar os pontos fornecidos para montar um sistema:

• Se \( h(1) = 4 \), então: $$ a \cdot 1 + b = 4 \Rightarrow a + b = 4 \quad \text{(1)} $$
• Se \( h(-2) = 10 \), então: $$ a \cdot (-2) + b = 10 \Rightarrow -2a + b = 10 \quad \text{(2)} $$

🔎 Etapa 2 – Resolvendo o sistema de equações:

Temos o sistema:

(1) \( a + b = 4 \)
(2) \( -2a + b = 10 \)

Subtraindo a equação (1) da equação (2):

\( (-2a + b) – (a + b) = 10 – 4 \)
\( -2a + b – a – b = 6 \)
\( -3a = 6 \Rightarrow a = -2 \)

Substituindo o valor de \( a \) na equação (1):

\( -2 + b = 4 \Rightarrow b = 6 \)

🔎 Etapa 3 – Encontrando a expressão da função:

Com os valores encontrados, temos:

$$ h(x) = -2x + 6 $$

🔎 Etapa 4 – Cálculo de \( h\left(-\dfrac{1}{2}\right) \):

Substituindo na função:

$$ h\left(-\dfrac{1}{2}\right) = -2 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) + 6 $$

$$ h\left(-\dfrac{1}{2}\right) = 1 + 6 = 7 $$

✅ Conclusão:

• Lei da função: \( h(x) = -2x + 6 \)
• Valor de \( h\left(-\dfrac{1}{2}\right) \): \( \boxed{7} \)

a) Fórmulas das funções:

• Gráfica A: $$ y_A = 0{,}30x $$
• Gráfica B: $$ y_B = 0{,}25x $$

b) Verificando proporcionalidade direta:

Funções do tipo \( y = ax \) representam proporcionalidade direta entre as variáveis.

• Gráfica A: é diretamente proporcional, pois não possui termo constante.
• Gráfica B: também é diretamente proporcional, pois também está na forma \( y = ax \).

c) Cálculo do custo na gráfica B:

Se Sofia encomendar 1000 folhetos:

$$ y_B = 0{,}25 \cdot 1000 = 250 $$

Resposta: R$ 250,00

✅ Conclusão:

• Fórmulas: \( y_A = 0{,}30x \), \( y_B = 0{,}25x \)
• Ambas são funções diretamente proporcionais
• Valor gasto com 1000 folhetos na gráfica B: R$ 250,00

🔎 Entendendo o conceito:

Uma função linear tem a forma:

$$ f(x) = ax $$

Ou seja, ela passa pela origem e não possui termo constante.

1) Usando a informação \( f(-3) = 4 \):

Substituímos na expressão:

$$ a \cdot (-3) = 4 \Rightarrow a = -\dfrac{4}{3} $$

2) Calculando \( f(6) \):

Agora usamos o valor de \( a \) para calcular:

$$ f(6) = -\dfrac{4}{3} \cdot 6 = -8 $$

✅ Conclusão:

• Coeficiente angular: \( a = -\dfrac{4}{3} \)
• Função: \( f(x) = -\dfrac{4}{3}x \)
• Valor de \( f(6) \): \( \boxed{-8} \)

a) Fórmula do perímetro:

Os lados do retângulo são \( x \) e \( x + 5 \). O perímetro é a soma dos quatro lados:

$$ p = 2x + 2(x + 5) = 2x + 2x + 10 = 4x + 10 $$

b) Completando a tabela:

Usamos a fórmula \( p = 4x + 10 \):

• Para \( x = 5 \): \( p = 4(5) + 10 = 30 \)
• Para \( x = 10 \): \( p = 4(10) + 10 = 50 \)
• Para \( x = 20 \): \( p = 4(20) + 10 = 90 \)
• Para \( x = 30 \): \( p = 4(30) + 10 = 130 \)
• Para \( p = 162 \): $$ 162 = 4x + 10 \Rightarrow 4x = 152 \Rightarrow x = 38 $$

c) As grandezas \( p \) e \( x \) são diretamente proporcionais?

Não. Para que duas grandezas sejam diretamente proporcionais, a razão entre elas deve ser constante:

$$ \frac{p}{x} = \frac{4x + 10}{x} = 4 + \frac{10}{x} $$

Como \( \frac{10}{x} \) varia com \( x \), a razão \( \frac{p}{x} \) não é constante. Logo, não há proporcionalidade direta.

d) Qual deve ser o valor de \( x \) para que o perímetro seja 78 metros?

Resolvemos a equação:

$$ 78 = 4x + 10 \Rightarrow 4x = 68 \Rightarrow x = 17 $$

O outro lado será \( x + 5 = 17 + 5 = 22 \).

Resposta: As medidas dos lados devem ser 17 m e 22 m.

✅ Conclusão:

• Fórmula do perímetro: \( p = 4x + 10 \)
• Valores completos da tabela: \( x = 38 \) para \( p = 162 \), e \( x = 50 \) para \( p = 210 \)
• Proporcionalidade: \( p \) e \( x \) não são diretamente proporcionais
• Para \( p = 78 \): lados de 17 m e 22 m

🔎 Etapa 1 – Considerar a forma geral da função:

A função polinomial do 1º grau tem a forma:

$$ f(x) = ax + b $$

🔎 Etapa 2 – Usar os dois pontos fornecidos:

• Se \( f(3) = 6 \), então: $$ 3a + b = 6 \quad \text{(1)} $$
• Se \( f(4) = 8 \), então: $$ 4a + b = 8 \quad \text{(2)} $$

Subtraindo (2) – (1):

$$ (4a + b) – (3a + b) = 8 – 6 \Rightarrow a = 2 $$

Substituindo em (1):

$$ 3 \cdot 2 + b = 6 \Rightarrow 6 + b = 6 \Rightarrow b = 0 $$

🔎 Etapa 3 – Função final e cálculo:

A função é:

$$ f(x) = 2x $$

Logo:

$$ f(10) = 2 \cdot 10 = \boxed{20} $$

✅ Conclusão:

• Função encontrada: \( f(x) = 2x \)
• Valor de \( f(10) \): \( \boxed{20} \)
• Alternativa correta: e)

a) Fórmula da função:

Sabemos que a pessoa percorre 80 cm a cada segundo. Logo:

$$ d = 80t $$

b) Proporcionalidade entre \( d \) e \( t \):

A fórmula tem a forma \( d = 80t \), ou seja, é uma função linear do tipo \( y = ax \), com coeficiente fixo e sem termo independente. Logo:

Sim, as grandezas são diretamente proporcionais.

c) Distância percorrida em metros:

• Em 10 segundos: $$ d = 80 \cdot 10 = 800 \text{ cm} = 8 \text{ m} $$
• Em 40 segundos: $$ d = 80 \cdot 40 = 3200 \text{ cm} = 32 \text{ m} $$

d) Tempo necessário para percorrer 100 metros:

100 metros = 10000 cm. Usamos a fórmula \( d = 80t \):

$$ 10000 = 80t \Rightarrow t = \frac{10000}{80} = 125 \text{ s} $$

✅ Conclusão:

• Função: \( d = 80t \)
• As grandezas \( d \) e \( t \) são diretamente proporcionais: Sim
• Distância em 10 segundos: 800 cm = 8 m
• Distância em 40 segundos: 3200 cm = 32 m
• Tempo para percorrer 100 metros: 125 segundos

🔎 Etapa 1 – Substituir \( f(1) = -9 \) na função:

Sabemos que \( f(x) = ax + b \), então:

$$ f(1) = a(1) + b = -9 \Rightarrow a + b = -9 \quad \text{(1)} $$

🔎 Etapa 2 – Usar a equação adicional:

Temos também:

$$ b^2 – a^2 = 54 \quad \text{(2)} $$

Da equação (1): \( b = -9 – a \)

🔎 Etapa 3 – Substituir na equação (2):

Substituímos \( b \) em (2):

$$ (-9 – a)^2 – a^2 = 54 $$

Expansão do quadrado:

$$ (81 + 18a + a^2) – a^2 = 54 $$

Eliminando \( a^2 \):

$$ 81 + 18a = 54 $$

$$ 18a = -27 \Rightarrow a = -\dfrac{3}{2} $$

Substituindo em (1):

$$ b = -9 – (-\dfrac{3}{2}) = -9 + \dfrac{3}{2} = -\dfrac{15}{2} $$

🔎 Etapa 4 – Calcular \( a – b \):

$$ a – b = -\dfrac{3}{2} – (-\dfrac{15}{2}) = \dfrac{12}{2} = \boxed{6} $$

✅ Conclusão:

• Valor de \( a \): \( -\dfrac{3}{2} \)
• Valor de \( b \): \( -\dfrac{15}{2} \)
• Resultado final: \( a – b = \boxed{6} \)

🔎 Etapa 1 – Identificar dois pares ordenados:

• Ponto A: \( (5,\ 6{,}35) \)
• Ponto B: \( (10,\ 6{,}70) \)

🔎 Etapa 2 – Usar a fórmula da função afim:

Seja \( y = ax + b \). Vamos calcular \( a \):

$$ a = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} = \frac{6{,}70 – 6{,}35}{10 – 5} = \frac{0{,}35}{5} = 0{,}07 $$

🔎 Etapa 3 – Substituir em um ponto para encontrar \( b \):

Usando o ponto \( (5,\ 6{,}35) \):

$$ 6{,}35 = 0{,}07 \cdot 5 + b \Rightarrow 6{,}35 = 0{,}35 + b \Rightarrow b = 6 $$

🔎 Etapa 4 – Função final:

$$ y = 0{,}07x + 6 $$

Alternativa correta: e)

✅ Conclusão:

• Coeficiente angular: \( a = 0{,}07 \)
• Coeficiente linear: \( b = 6 \)
• Função: \( y = 0{,}07x + 6 \)
• Alternativa correta: e)