Conteúdo: Função afim aplicada ao perímetro de figuras planas
Questão 26. Os lados de um retângulo medem \( x \) e \( x+5 \), em metros.
a) Escreva a fórmula matemática que relaciona o perímetro \( p \) com a medida \( x \).
b) Reproduza a tabela abaixo e complete os valores de \( p \):
| \( x \) (em metro) | 5 | 10 | 20 | 30 | ? | ? |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \( p \) (em metro) | 40 | 60 | 100 | 140 | 162 | 210 |
c) As grandezas \( p \) e \( x \) são diretamente proporcionais? Justifique.
d) Quais devem ser as medidas dos lados desse retângulo para que o perímetro seja de 78 metros?
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a) Fórmula do perímetro:
Os lados do retângulo são \( x \) e \( x + 5 \). O perímetro é a soma dos quatro lados:
$$ p = 2x + 2(x + 5) = 2x + 2x + 10 = 4x + 10 $$
b) Completando a tabela:
Usamos a fórmula \( p = 4x + 10 \):
- Para \( x = 5 \): \( p = 4(5) + 10 = 30 \)
- Para \( x = 10 \): \( p = 4(10) + 10 = 50 \)
- Para \( x = 20 \): \( p = 4(20) + 10 = 90 \)
- Para \( x = 30 \): \( p = 4(30) + 10 = 130 \)
- Para \( p = 162 \): $$ 162 = 4x + 10 \Rightarrow 4x = 152 \Rightarrow x = 38 $$
c) As grandezas \( p \) e \( x \) são diretamente proporcionais?
Não. Para que duas grandezas sejam diretamente proporcionais, a razão entre elas deve ser constante:
$$ \frac{p}{x} = \frac{4x + 10}{x} = 4 + \frac{10}{x} $$
Como \( \frac{10}{x} \) varia com \( x \), a razão \( \frac{p}{x} \) não é constante. Logo, não há proporcionalidade direta.
d) Qual deve ser o valor de \( x \) para que o perímetro seja 78 metros?
Resolvemos a equação:
$$ 78 = 4x + 10 \Rightarrow 4x = 68 \Rightarrow x = 17 $$
O outro lado será \( x + 5 = 17 + 5 = 22 \).
Resposta: As medidas dos lados devem ser 17 m e 22 m.
✅ Conclusão:
- Fórmula do perímetro: \( p = 4x + 10 \)
- Valores completos da tabela: \( x = 38 \) para \( p = 162 \), e \( x = 50 \) para \( p = 210 \)
- Proporcionalidade: \( p \) e \( x \) não são diretamente proporcionais
- Para \( p = 78 \): lados de 17 m e 22 m
