Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo: Lista de Exercícios com Solução

Essa questão envolve o uso de trigonometria para determinar duas distâncias: a distância horizontal da pista (que pode ser chamada de d) e a distância total percorrida pelo avião ao descer (que pode ser chamada de s).

1. Cálculo da distância horizontal ( d ) da pista:

O avião forma um triângulo retângulo com a altura h = 7000m e o ângulo de descida θ=6∘. Nesse triângulo, podemos usar a tangente, pois a tangente é a razão entre o cateto oposto (altura) e o cateto adjacente (distância da pista):

Substituindo os valores:

Agora, isolando ( d ):

Portanto, a distância horizontal da pista é de aproximadamente 66.611,80 metros.

2. Cálculo da distância total ( s ) que o avião vai percorrer:

A distância total percorrida pelo avião é a hipotenusa do triângulo retângulo. Podemos usar o seno do ângulo de descida, que é a razão entre a altura e a hipotenusa:

Substituindo os valores:

Agora, isolando ( s ):

Portanto, a distância total que o avião vai percorrer é de aproximadamente 66.922,45 metros.

Resumo:

• A distância horizontal até a pista é 66.611,80 metros.
• A distância total percorrida pelo avião é 66.922,45 metros.

Para resolver este problema, podemos usar trigonometria, já que temos um triângulo retângulo.

Sabemos que:

• O comprimento do fio (hipotenusa) é 80 metros.
• O ângulo formado com o solo é 45°.
• Queremos encontrar a altura (x) da pipa em relação ao solo.

Em um triângulo retângulo com um ângulo de 45°, as duas pernas são iguais, o que significa que a altura (x) é igual à base (x). Podemos usar a função seno ou cosseno de 45° para calcular a altura:

Sabemos que:

Então, temos a equação:

Multiplicando ambos os lados por 80:

Agora, racionalizando o denominador (multiplicando o numerador e o denominador por √2​:

Agora vamos calcular o valor de (x).

x = 40 x 1,41 = 65,74

A altura da pipa em relação ao solo é aproximadamente 56,74 metros.

Nesse caso, como estamos lidando com a largura do rio (cateto oposto) e queremos calcular a distância percorrida pelo barco (hipotenusa), o correto seria usar a função seno. Vamos refazer o raciocínio utilizando o seno de 45°.

Sabemos que:

Como sin⁡(45∘)=1/√2​, a equação se torna:

Multiplicando ambos os lados por d e depois por √2​:

Agora, substituímos o valor de √2=1,41, e o resultado será o mesmo, pois a relação trigonométrica leva ao mesmo valor de hipotenusa. Ou seja:

Assim, a distância percorrida pelo barco continua sendo 141 metros.

Neste problema, temos uma árvore de 5 metros de altura e o ângulo de elevação do sol é 30°. Precisamos calcular o comprimento da sombra (s), que é o cateto adjacente em relação ao ângulo de 30° no triângulo retângulo formado.

Usaremos a função tangente, que é a razão entre o cateto oposto (altura da árvore) e o cateto adjacente (comprimento da sombra):

Sabemos que:

Agora, substituímos os valores:

Multiplicando ambos os lados por (s) e depois por √3:

Agora, substituímos o valor de √3 = 1,73 para encontrar o comprimento da sombra:

Vamos calcular.

O comprimento da sombra da árvore é aproximadamente 8,65 metros.

Vamos resolver o problema passo a passo usando as relações trigonométricas para obter a altura do edifício (x).

Passo 1: Definir as equações trigonométricas

Com base na imagem e nos dados fornecidos, podemos usar as tangentes dos ângulos para definir as relações trigonométricas:

Para o primeiro triângulo com ângulo de 60°:

onde (x) é a altura do edifício e (d) é a distância inicial do observador ao prédio. Sabemos que tan(60°) = √3, então temos:

ou

Para o segundo triângulo com ângulo de (45°):

Como tan(45°) = 1, temos:

ou

Passo 2: Igualar as equações

Agora, podemos igualar as duas expressões para (x):

Passo 3: Resolver para (d)

Isolando (d):

Passo 4: Racionalizar o denominador

Multiplicando numerador e denominador por √3 + 1:

Passo 5: Substituir (d) em (x = d + 30)

Agora, substituímos (d) na equação (2):

Passo 6: Aproximar valores

Sabemos que √3 = 1,732… , então:

Resposta:

A altura do edifício é aproximadamente 71m.

Vamos resolver o exercício usando a relação trigonométrica apropriada.

Dados fornecidos:

• Ângulo de elevação: (30°)
• Distância do observador ao prédio: (60m)
• Altura do prédio: (x) (a ser determinada)

Passo 1: Usar a tangente do ângulo

A tangente do ângulo de (30°) é dada pela razão entre a altura do prédio (x) e a distância ao prédio (60m):

Sabemos que tan(30°) = 1/√3, então temos:

Passo 2: Resolver para (x)

Multiplicando ambos os lados da equação por 60:

Racionalizando o denominador:

Passo 3: Aproximar o valor numérico

Sabemos que √3 = 1,732…, então:

Resposta:

A altura do prédio é aproximadamente 34,64m.

Vamos resolver este exercício passo a passo utilizando as razões trigonométricas.

Dados fornecidos:

• Distância do observador até o edifício: 30m
• Ângulo de elevação: 30°
• Altura da pessoa sobre o muro: 3 m
• Valor aproximado de √3 = 1,73
• Altura do edifício: (h) (a ser determinada)

Passo 1: Aplicar a tangente do ângulo

A tangente do ângulo de 30° é a relação entre a altura (x) do edifício (descontando os 3 m do muro) e a distância horizontal de 30m:

Sabemos que tan(30°) = 1/√3, então:

Passo 2: Resolver para (x)

Multiplicando ambos os lados da equação por 30:

Passo 3: Somar a altura do muro

Agora, para encontrar a altura total do edifício (h), devemos somar a altura do muro de 3m:

Resposta:

A altura do edifício é aproximadamente 20,34m.