Matemática Banca IBFC: Polinômios – Questão Comentada

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(Banca IBFC – 2021 – Polinômios) Considere a igualdade polinomial dada por 

∀x ∈ ℂ − {−1,0, 1}, assinale a alternativa que apresenta o valor numérico de a + b + c.

A) 2

B) -1

C) 1

D) 0

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Para resolver completamente essa questão, vamos desenvolver o processo de igualar os coeficientes de forma detalhada.

A igualdade polinomial dada é:

Primeiro, fatoramos o denominador do lado esquerdo:

x³ – x = x(x – 1)(x + 1)

Assim, a equação se torna:

Para igualar os denominadores, precisamos escrever o lado direito como uma única fração com o mesmo denominador x(x – 1)(x + 1):

Igualando os numeradores:

5 = a(x – 1)(x + 1) + b(x)(x + 1) + c(x)(x – 1)

Agora, expandimos cada termo do lado direito:

1. Expansão de a(x – 1)(x + 1):
   
   a(x – 1)(x + 1) = a(x² – 1) = ax² – a
   
2. Expansão de b(x)(x + 1):
   
   b(x)(x + 1) = b(x² + x) = bx² + bx
   
3. Expansão de ( c(x)(x – 1) ):
   
   c(x)(x – 1) = c(x² – x) = cx² – cx
   

Somando todos os termos, temos:

5 = (a + b + c)x² + (b – c)x – a

Agora, comparamos os coeficientes de cada termo com o lado esquerdo, que é 5 = 0 ⋅ x² + 0 ⋅ x + 5 . Assim, obtemos o seguinte sistema de equações:

1. Coeficiente de ( x² ): a + b + c = 0
2. Coeficiente de ( x ): b – c = 0
3. Termo constante: -a = 5

Resolvendo o sistema:

1. Da terceira equação, temos a = -5.
2. Substituindo a = -5 na primeira equação:
   
   -5 + b + c = 0 ⇒ b + c = 5
   
3. Da segunda equação, temos b = c .

Substituindo b = c na equação b + c = 5:

2b = 5 ⇒ b = 5/2

Como b = c, então c = 5/2.

Portanto, encontramos a = -5, b = 5/2, e c = 5/2.

Agora, somamos a + b + c:

A resposta final é:

D) 0

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