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(Banca IBFC – 2021 – Polinômios) Sabemos que o resto da divisão do polinômio P(x) = x³ + mx + n pelo polinômio Q(x) = x² − x − 2 é igual a 4. Assinale a alternativa que apresenta o produto de m ∗ n.

A) -1

B) 6

C) -6

D) 5

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Para resolver essa questão, vamos utilizar o Teorema do Resto e a relação entre o grau dos polinômios envolvidos na divisão.

Dado que o polinômio P(x) = x³ + mx + n está sendo dividido pelo polinômio Q(x) = x² – x – 2, sabemos que o grau do quociente será (1) e o resto será um polinômio de grau menor que o divisor, ou seja, um polinômio de grau (1) da forma R(x) = ax + b.

Informações da questão

Sabemos que o resto da divisão é igual a (4), o que significa que:

R(x) = 4

Além disso, como Q(x) = x² – x – 2, podemos fatorar Q(x) para encontrar suas raízes e usá-las no Teorema do Resto.

Passo 1: Encontrar as raízes de Q(x) = x² – x – 2

Para fatorar x²– x – 2, resolvemos a equação:

x² – x – 2 = 0

As raízes dessa equação são:

x = 2 e x = -1

Passo 2: Aplicar o Teorema do Resto

Como o resto da divisão de P(x) por Q(x) é um polinômio constante R(x) = 4, temos:

1. P(2) = 4
2. P(-1) = 4

Vamos usar essas duas condições para criar um sistema de equações para m e n.

Substituindo x = 2 em P(x):

P(2) = 2³ + m ⋅ 2 + n = 4

8 + 2m + n = 4

2m + n = -4 (Equação 1)

Substituindo x = -1 em P(x):

P(-1) = (-1)³ + m ⋅ (-1) + n = 4

-1 – m + n = 4

-m + n = 5 (Equação 2)

Passo 3: Resolver o sistema de equações

Temos o seguinte sistema:

1. 2m + n = -4
2. -m + n = 5

Subtraindo a segunda equação da primeira para eliminar ( n ):

(2m + n) – (-m + n) = -4 – 5

3m = -9

m = -3

Substituindo m = -3 em uma das equações para encontrar n. Usando a Equação 2:

-(-3) + n = 5

3 + n = 5

n = 2

Passo 4: Calcular o produto m ⋅ n

m ⋅ n = (-3) ⋅ 2 = -6

Portanto, o valor de m ⋅ n é:

C) -6

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