Álgebra Linear
Nesta primeira aula do curso de Álgebra Linear, abordaremos os conceitos iniciais de matrizes, seus tipos, classificações e operações fundamentais, como soma e subtração.
O que é uma Matriz?
De forma simples, uma matriz é uma tabela de valores organizada em linhas e colunas. Esses valores podem ser números reais ou complexos, mas neste curso trabalharemos com números reais.
Aqui, \( m \) representa o número de linhas e \( n \) o número de colunas da matriz \( A \).
Classificação das Matrizes
- Matriz Linha: Possui apenas uma linha. Exemplo: \( A = [1 \; 3 \; 7] \) é \( 1 \times 3 \).
- Matriz Coluna: Possui apenas uma coluna. Exemplo: \( B = \begin{bmatrix} 2 \\ 9 \\ 3 \end{bmatrix} \) é \( 3 \times 1 \).
- Matriz Unitária: Possui apenas um elemento, como \( C = [7] \).
- Matriz Retangular: Quando \( m \neq n \), por exemplo \( 2 \times 3 \).
- Matriz Quadrada: Quando \( m = n \), como uma matriz \( 3 \times 3 \).
Diagonais de uma Matriz
Nas matrizes quadradas, a diagonal principal é formada pelos elementos \( a_{11}, a_{22}, a_{33}, \dots \), enquanto a diagonal secundária é formada pelos elementos da linha superior direita ao canto inferior esquerdo.
Matrizes Especiais
- Triangular Superior: Elementos abaixo da diagonal principal são zero.
- Triangular Inferior: Elementos acima da diagonal principal são zero.
- Matriz Diagonal: Apenas a diagonal principal possui valores diferentes de zero.
- Matriz Identidade: Uma matriz diagonal com todos os elementos da diagonal principal iguais a 1:$$ I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$
Lei de Formação
Uma matriz pode ser descrita por uma lei de formação, uma função \( a_{ij} \) que depende dos índices \( i \) e \( j \).
Operações com Matrizes
A soma e a subtração de matrizes são possíveis apenas se elas possuem as mesmas dimensões.
Propriedades da Soma
- Comutativa: \( A + B = B + A \).
- Associativa: \( (A + B) + C = A + (B + C) \).
- Elemento Neutro: \( A + O = A \), onde \( O \) é a matriz nula.
- Inverso Aditivo: Existe \( -A \) tal que \( A + (-A) = O \).
Subtração de Matrizes
Na próxima aula veremos a multiplicação de matrizes e suas propriedades.
Multiplicação de Matrizes
Hoje vamos estudar a multiplicação de matrizes, dando sequência à introdução sobre matrizes e determinantes. Vamos abordar dois casos principais:
- Multiplicação de matriz por escalar.
- Multiplicação de matriz por matriz.
1. Multiplicação de Matriz por Escalar
A multiplicação de uma matriz \( A \) por um escalar \( k \) consiste em multiplicar cada elemento de \( A \) por \( k \):
Exemplo:
Se \( k = -2 \) e \( A = \begin{bmatrix} 2 & 10 \\ 1 & -3 \end{bmatrix} \), então:
2. Multiplicação de Matriz por Matriz
Para multiplicar duas matrizes \( A \) (de dimensão \( m \times n \)) e \( B \) (de dimensão \( n \times p \)), é necessário que o número de colunas de \( A \) seja igual ao número de linhas de \( B \). A matriz resultante \( C = A \cdot B \) terá dimensão \( m \times p \).
Exemplo:
Seja \( A = \begin{bmatrix} -1 & 3 \\ 4 & 2 \end{bmatrix} \) e \( B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \), então:
Assim, \( C = A \cdot B = \begin{bmatrix} 8 & 10 \\ 10 & 16 \end{bmatrix} \).
3. Propriedades da Multiplicação de Matrizes
- Associativa: \( A \cdot (B \cdot C) = (A \cdot B) \cdot C \).
- Distributiva: \( A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C \).
- Elemento Neutro: \( A \cdot I = A \), onde \( I \) é a matriz identidade.
4. Matriz Transposta
A transposta de uma matriz \( A \), denotada \( A^T \), é obtida trocando suas linhas por colunas.
Exemplo:
5. Matriz Inversa
A matriz inversa de \( A \), denotada \( A^{-1} \), é tal que \( A \cdot A^{-1} = I \). Ela só existe para matrizes quadradas e com determinante diferente de zero.
Exemplo:
Para \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \), a inversa é:
Logo, \( A^{-1} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{bmatrix} \).
6. Determinantes
O determinante é um número associado a uma matriz quadrada. Para uma matriz \( 2 \times 2 \):
Exemplo:
Para \( A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} \), temos:
Determinante de matriz \( 3 \times 3 \) – Regra de Sarrus:
Copia-se as duas primeiras colunas ao lado da matriz e calcula-se:
Exercícios Resolvidos – Matrizes
Ver solução
A matriz \( A \) possui 2 linhas e 3 colunas, ou seja, é do tipo \( 2 \times 3 \).
Classificação: Como \( m \neq n \), trata-se de uma matriz retangular.
\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \) e \( B = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 5 \end{bmatrix} \).
Ver solução
Somamos os elementos correspondentes:
Ver solução
Para que \( A = B \), todos os elementos devem ser iguais:
\( A = \begin{bmatrix} 4 & 1 & 2 \\ 0 & 5 & 3 \end{bmatrix} \), \( B = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 3 \end{bmatrix} \).
Ver solução
Subtraímos os elementos correspondentes:
Ver solução
Calculando cada elemento:
Logo, \( M = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \).
Ver solução
Multiplicamos cada elemento da matriz por 3:
Ver solução
Calculamos elemento por elemento:
Logo, \( C = \begin{bmatrix} 4 & 6 \\ 10 & 12 \end{bmatrix} \).
Ver solução
Para obter \( A^T \), trocamos linhas por colunas:
Ver solução
O determinante de uma matriz \( 2 \times 2 \) é:
Ver solução
Primeiro, calculamos o determinante:
A inversa de \( A \) é:
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