Extensões de Corpos e Espaços Vetoriais

O que é uma extensão de corpo?

Dizemos que \( F \) é uma extensão de um corpo \( E \) quando \( E \) é um subcorpo de \( F \). Denotamos isso como:

Exemplos clássicos:

• Os números racionais \( \mathbb{Q} \) são subcorpo dos reais \( \mathbb{R} \).
• O corpo \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \) contém \( \mathbb{Q} \) como subcorpo.
• Os complexos \( \mathbb{C} \) são extensão de \( \mathbb{R} \).

O que é um espaço vetorial?

Um espaço vetorial sobre um corpo \( F \) é um conjunto \( V \) (de vetores) que possui:

• Uma operação de soma \( + \) que faz de \( V \) um grupo abeliano.
• Um produto por escalar: \( F \times V \to V \), obedecendo a distributividade e associatividade.

Exemplo: \( \mathbb{R}^2 \) e \( \mathbb{R}^3 \) são espaços vetoriais reais. O corpo \( \mathbb{C} \) pode ser visto como um espaço vetorial sobre \( \mathbb{R} \) com base \( \{1, i\} \).

Independência Linear

Vetores \( v_1, v_2, \dots, v_n \in V \) são linearmente independentes se a única solução da equação:

com \( x_i \in F \) é a solução trivial \( x_1 = x_2 = \dots = x_n = 0 \).

Exemplo: No espaço \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \) sobre \( \mathbb{Q} \), os elementos \( 1 \) e \( \sqrt{2} \) são linearmente independentes.

Base e Dimensão

Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores linearmente independentes que gera todo o espaço. A dimensão é o número de vetores da base (quando finita).

Por exemplo, uma base de \( \mathbb{C} \) sobre \( \mathbb{R} \) é \( \{1, i\} \), e a dimensão é 2.

Grau de uma Extensão

Se \( F : E \) é uma extensão de corpos, então \( F \) pode ser visto como um espaço vetorial sobre \( E \). O grau da extensão é:

Exemplo: \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \) sobre \( \mathbb{Q} \) tem grau 2, pois a base é \( \{1, \sqrt{2}\} \).

Números Transcendentes

Um número real é transcendente sobre \( \mathbb{Q} \) se não é raiz de nenhum polinômio com coeficientes racionais. Um exemplo famoso é \( \pi \).

Isso implica que \( \mathbb{R} \) visto como espaço vetorial sobre \( \mathbb{Q} \) tem dimensão infinita.

Resumo Final

– Toda extensão de corpos gera um espaço vetorial. – A base e o grau da extensão nos ajudam a entender sua estrutura. – Algumas extensões, como \( \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \), têm grau infinito devido aos números transcendentes.

Nas próximas aulas, exploraremos como essas ideias levam a resultados importantes, como problemas geométricos clássicos, incluindo a famosa quadratura do círculo.