Permutação com Repetição: Como Resolver e Aplicar

A permutação com repetição é uma variação da permutação na análise combinatória, usada para resolver problemas onde o conjunto de elementos possui itens iguais. Esse conceito é essencial em matemática para calcular o número de arranjos possíveis quando as trocas entre elementos idênticos não resultam em novas combinações únicas.

Neste artigo, vamos explorar o que é a permutação com repetição, como calcular, apresentar exemplos práticos e resolver exercícios detalhados para garantir sua compreensão.

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O Que é Permutação com Repetição?

Em uma permutação simples, todos os elementos são distintos, e a fórmula P(n)=n!P(n) = n! é aplicada diretamente. Já na permutação com repetição, parte dos elementos se repete, reduzindo o número de combinações únicas.

Por Que Reduzimos as Combinações?

Quando há elementos repetidos, reorganizá-los entre si não cria novas permutações. Por exemplo, na palavra “ANA”, trocar os “A” de posição não gera uma nova palavra distinta.

Fórmula da Permutação com Repetição

A fórmula ajusta o cálculo para levar em conta os elementos repetidos:

• n: número total de elementos.
• n₁, n₂, …, n_k: números de elementos repetidos para cada tipo.

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Exemplo Prático 1: Palavra com Letras Repetidas

Quantas palavras diferentes podem ser formadas com as letras da palavra “MASSA”?

Solução:

• Total de letras (n): 5 (M, A, S, S, A).
• Repetições:
  • A ocorre 2 vezes (n₁ = 2).
  • S ocorre 2 vezes (n₂ = 2).

Aplicando a fórmula:

Expandindo os fatoriais:

Resposta: Existem 30 palavras diferentes que podem ser formadas com as letras da palavra “MASSA”.

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Exemplo Prático 2: Balões Coloridos

Quantas sequências diferentes podem ser criadas com 7 balões, sendo 3 azuis, 2 vermelhos e 2 verdes?

Solução:

• Total de balões (n): 7.
• Repetições:
  • Azuis (n₁ = 3).
  • Vermelhos (n₂ = 2).
  • Verdes (n₃ = 2).

Aplicando a fórmula:

Expandindo os fatoriais:

Resposta: Há 210 sequências diferentes de balões.

Passo a Passo para Resolver Permutação com Repetição

1 – Identifique o número total de elementos (n).
Inclua todos os itens no conjunto.

2 – Determine os itens repetidos e suas quantidades (n1, n2, …).
Conte quantas vezes cada item se repete.

3 – Substitua na fórmula:

Calcule o resultado.

Aplicações da Permutação com Repetição

A permutação com repetição aparece em várias situações práticas e problemas de matemática. Aqui estão algumas aplicações comuns:

1. Criação de Palavras ou Senhas:
   Formar palavras com letras repetidas ou senhas com caracteres iguais.
2. Organização de Itens Repetidos:
   Determinar como dispor objetos idênticos em diferentes arranjos.
3. Planejamento de Cores ou Estilos:
   Criar combinações únicas em projetos visuais ou criativos.
4. Jogos e Problemas de Lógica:
   Resolver quebra-cabeças onde elementos repetidos estão presentes.

Exercícios Resolvidos

Exercício 1: Palavras com Letras Repetidas

Quantas palavras diferentes podem ser formadas com as letras da palavra “BANANA”?

Solução:

• Total de letras (n): 6.
• Repetições:
  • A ocorre 3 vezes (n₁ = 3).
  • N ocorre 2 vezes (n₂ = 2).

Aplicando a fórmula:

Resposta: Existem 60 palavras diferentes.

Exercício 2: Sequências de Figuras

Quantas sequências diferentes podem ser criadas com 8 figuras, sendo 4 círculos, 2 quadrados e 2 triângulos?

Solução:

• Total de figuras (n): 8.
• Repetições:
  • Círculos (n₁ = 4).
  • Quadrados (n₂ = 2).
  • Triângulos (n₃ = 2).

Aplicando a fórmula:

Resposta: Existem 420 sequências diferentes.

Resumo

A permutação com repetição é um conceito essencial na análise combinatória e amplamente aplicado na resolução de problemas em matemática. Sua fórmula ajusta o cálculo para considerar elementos repetidos, garantindo resultados precisos e eficientes.

Com exemplos claros e exercícios resolvidos, agora você está pronto para aplicar esse conceito em situações práticas e acadêmicas. Que tal resolver mais problemas e explorar a beleza da análise combinatória? A prática é a chave para o aprendizado!