Preparatório Correios 2024: 10 Questões de Matemática com Solução Passo a Passo

A solução para a equação dada na imagem é a seguinte:

Equação:

Passo 1: Simplificação das bases

Sabemos que ( 4 = 2² ) e ( 8 = 2³ ), então podemos reescrever a equação como:

Passo 2: Aplicação das propriedades de potências

A equação agora fica:

Passo 3: Igualação dos expoentes

Como as bases são iguais, podemos igualar os expoentes:

Passo 4: Resolução da equação

Multiplicamos ambos os lados por 5 para eliminar o denominador da esquerda:

Agora, dividimos ambos os lados por 2:

Resposta:

A raiz da equação é um número racional nega

Vamos organizar as informações para montar um sistema de equações e resolver o problema.

Definindo as variáveis:

• Seja S o salário de uma faxineira.
• O jardineiro e as copeiras ganham o mesmo salário, que é S − 200.
• A cozinheira ganha S + 260

Total de salários:

O Sr. Silva paga um total de R$3.134,00, e temos:

• 1 cozinheira ganhando S+260,
• 2 copeiras ganhando S−200,
• 2 faxineiras ganhando S cada,
• 1 jardineiro ganhando S−200.

Montando a equação total:

Simplificando a equação:

Somando 340 dos dois lados:

Dividindo ambos os lados por 6:

O salário de uma faxineira é S=579.

Agora, o salário da cozinheira é S+260:

Portanto, o salário da cozinheira é R$ 839,00.

A resposta correta é:

B) R$839,00.

A imagem mostra uma pesquisa sobre os tipos de e-mails indesejáveis mais comuns, com os seguintes percentuais:

• 34% para venda de produtos e serviços,
• 18% para oferta de empréstimos,
• 15% para pornografia,
• 14% para pirâmides e trapaças financeiras,
• 8% para remédios e tratamentos médicos,
• 11% para outros.

Sabemos que a pessoa recebeu 31 e-mails sobre venda de produtos e serviços em uma semana, o que corresponde a 34% do total de e-mails recebidos. Para descobrir o total de e-mails, vamos montar uma regra de três simples.

Seja ( x ) o total de e-mails recebidos na semana. Temos a relação:

Escrevendo isso matematicamente:

Agora, isolamos ( x ):

Portanto, a pessoa recebeu aproximadamente 91 e-mails por semana.

A resposta correta é:

A) 91.

Vamos resolver o problema passo a passo:

1. Definir as variáveis:

• O valor mensal fixo que Ricardo paga ao provedor é de R$25,00.
• Ele paga R$3,00 por cada acesso (conexão) à Internet.
• No mês passado, ele pagou um total de R$85,00.

Montar a equação:
Sabemos que o total pago é a soma do valor fixo mensal mais o valor gasto com as conexões. Podemos montar a seguinte equação:
25 + 3x = 85
Onde ( x ) é o número de acessos (conexões) que ele fez no mês passado.

Resolver a equação:
Subtraímos 25 de ambos os lados: [
3x = 85 – 25
3x = 60
Agora, dividimos ambos os lados por 3 para encontrar o valor de ( x ):
x = 60/3 = 20
Então, no mês passado, Ricardo fez 20 conexões.

Dobrar o número de acessos:
Se este mês ele fizer o dobro de acessos, o número de acessos será (2 x 20 = 40 ) conexões.

Calcular o total a pagar neste mês:
O total pago será a soma do valor fixo mensal de R$25,00 mais o valor por 40 acessos, que é ( 40 x 3 = 120 ). Portanto:
Total = 25 + 120 = 145
Resposta: Ele pagará R$145,00 este mês.

A alternativa correta é C) R$145,00.

Vamos resolver o problema usando as informações fornecidas e montar um sistema de equações para encontrar os coeficientes (a), (b) e (c).

Passo 1: Fórmula geral da função quadrática

Sabemos que a equação da função quadrática tem a forma:

y = ax² + bx + c

Passo 2: Usando os pontos fornecidos

Temos as seguintes informações:

• O vértice está no ponto (1,5; -4),
• O ponto (0,5; 0) também pertence à parábola.

Além disso, o valor de y_v = -4 (valor do vértice).

Passo 3: Montando o sistema de equações

1. Primeira equação (vértice ( (1,5, -4) )):

Substituímos x = 1,5 e y = -4 na equação geral:

-4 = a(1,5)² + b(1,5) + c

-4 = a(2,25) + 1,5b + c

2,25a + 1,5b + c = -4

2. Segunda equação ponto (0,5; 0):

Substituímos (x = 0,5) e (y = 0) na equação geral:

0 = a(0,5)² + b(0,5) + c

0 = a(0,25) + 0,5b + c

0,25a + 0,5b + c = 0

3. Terceira Equação: Utilizando x_v = 1,5, temos:

x_v = -b/2a

1,5= -b/2a

1,5 x 2a= -b

b = -3a

Passo 4: Resolvem o sistema

Agora, temos um sistema com três equações:

Vamos resolver o sistema de equações passo a passo.

Sistema de Equações

Passo 1: Substituir ( b ) na Equação 1 e 2

Usando a Equação 3 (( b = -3a )), substituímos ( b ) nas equações 1 e 2.

Substituindo na Equação 2:

Passo 2: Resolver o Sistema com as Equações 4 e 5

Agora temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:

Vamos subtrair a Equação 5 da Equação 4 para eliminar ( c ).

Passo 3: Encontrar ( c )

Substituímos ( a = 4 ) em qualquer uma das Equações 4 ou 5 para encontrar ( c ).

Usando a Equação 5:

Passo 4: Encontrar ( b )

Agora, usamos a Equação 3 para encontrar ( b ).

Solução Final

Os valores encontrados são:

• ( a = 4 )
• ( b = -12 )
• ( c = 5 )

Esses são os valores das variáveis que satisfazem todas as equações do sistema.

Logo y = 4x² – 12 + 5

Para resolver o problema, devemos calcular quantos livros cabem dentro de uma caixa do tipo 2, levando em conta o volume da caixa e o volume de cada livro, além de verificar a disposição possível dos livros dentro da caixa.

Dimensões:

• Caixa tipo 2: 27 cm × 18 cm × 9 cm
• Livro: 23 cm × 16 cm × 1,2 cm

Etapas:

1. Verificar as possíveis orientações para o posicionamento dos livros na caixa:

Temos que testar as combinações das dimensões do livro e da caixa para ver quantos livros cabem em cada direção.

Tentativa 1:

Colocando o comprimento do livro (23 cm) ao longo do comprimento da caixa (27 cm):

Neste arranjo, cabem no máximo 7 livros.

Vamos resolver a questão utilizando ( x ) e ( x + 10 ) como os lados do retângulo:

1. O perímetro de um retângulo é dado por:

P = 2 x (L + l)

2. Sabemos que o perímetro do terreno é 180 metros. Se um lado é x e o outro é x + 10, então temos:

180 = 2 x(x + (x + 10))

3. Simplificando a equação:

180 = 2 x (2x + 10)

Dividindo ambos os lados por 2:

90 = 2x + 10

Subtraindo 10 de ambos os lados:

80 = 2x

Dividindo por 2:

x = 40

4. Agora, substituímos o valor de ( x ):

• O lado menor é ( x = 40 ).
• O lado maior é ( x + 10 = 40 + 10 = 50 ).

4. Agora podemos calcular a área do retângulo:

A = x x (x + 10) = 40 x 50 = 2.000 m²

Portanto, a área do terreno é 2.000 m².

A resposta correta é E) 2.000 m².

Vamos resolver essa questão para encontrar o valor de m de modo que o trinômio (m – 2)x² – (m – 1)x + (m – 1) seja sempre positivo utilizando os conhecimentos das inequações do 2° grau.

Para que um trinômio quadrático ( ax² + bx + c ) seja sempre positivo, é necessário que:

1. O coeficiente de ( x² ) seja positivo, ou seja, ( a > 0 ).
2. O discriminante ( ∆ ) da equação quadrática seja negativo, ou seja, ( ∆ < 0 ), para que não haja raízes reais.

Passo 1: Identificar os coeficientes do trinômio

Comparando (m – 2)x² – (m – 1)x + (m – 1) com a equação geral ( ax² + bx + c ), temos:

• a = m – 2
• b = -(m – 1)
• c = m – 1

Passo 2: Garantir que ( a > 0 )

Para que o trinômio seja sempre positivo, o coeficiente de ( ^x2 ), que é ( m – 2 ), deve ser positivo:

m – 2 > 0

m > 2

Passo 3: Calcular o discriminante e garantir que ( ∆ < 0 )

O discriminante ( \Delta ) da equação quadrática é dado por:

∆ = b^2 – 4ac

Substituindo os valores de ( a ), ( b ), e ( c ):

∆ = (-(m – 1))² – 4(m – 2)(m – 1)

Calculando:

∆ = (m – 1)² – 4(m – 2)(m – 1)

Expandindo os termos:

∆ = (m² – 2m + 1) – 4(m² – 3m + 2)

∆ = m² – 2m + 1 – 4(m²) + 12m – 8

∆ = m² – 2m + 1 – 4m² + 12m – 8

Simplificando:

∆ = -3m² + 10m – 7

Para que não haja raízes reais, é necessário que ( ∆ < 0 ):

-3m² + 10m – 7 < 0

Multiplicando a equação por ( -1 ) (lembrando que isso inverte o sinal da desigualdade):

3m² – 10m + 7 > 0

Agora, precisamos resolver a equação quadrática ( 3m² – 10m + 7 = 0 ) para encontrar as raízes.

Passo 4: Encontrar as raízes da equação

Usamos a fórmula de Bhaskara:

Com ( a = 3 ), ( b = -10 ), e ( c = 7 ):

As raízes são:

As duas soluções são:

Passo 5: Analisar o sinal da equação

A inequação ( 3m² – 10m + 7 > 0 ) é satisfeita para valores de ( m ) fora do intervalo entre as raízes ( 7/3) e ( 1 ). Portanto, a solução é:

Passo 6: Verificar as opções

A alternativa correta que garante que o trinômio seja sempre positivo é m > 7/3.

A resposta correta é E) m > 2(1/3).

Para encontrar o número de funcionários quando a Agência dos Correios foi fundada, precisamos calcular n(t) para ( t = 0 ) na Função Logarítmica.

Substituindo ( t = 0 ) na equação:

Simplificando:

Agora, podemos usar a mudança de base para calcular ( log₁₂₅(5) ). Lembre-se que ( 125 = 5³ ), então:

Substituindo isso na equação:

Portanto, a Agência dos Correios possuía 25 funcionários quando foi fundada. A resposta correta é:

E) 25.

Vamos calcular o valor pago por cada irmão separadamente, considerando a política de preços da escola.

1. Irmão A (estudou durante 4 meses)

A mensalidade para os quatro primeiros meses é de R$90,00. Como o irmão A estudou apenas 4 meses, ele pagou:
Total de A = 4 x 90 = R$360,00

2. Irmão B (estudou durante 9 meses)

Os quatro primeiros meses têm mensalidade de R$90,00. A partir do 5º mês, há um desconto de R$15,00, ou seja, a mensalidade passa a ser R$75,00. Portanto, o irmão B pagou:

• Para os primeiros 4 meses:
  4 x 90 = R$360,00
• Para os próximos 5 meses (com o desconto):
  5 x 75 = R$375,00

O total pago por B foi:

Total de B = 360 + 375 = R$735,00

3. Irmão C (estudou durante 12 meses)

Os quatro primeiros meses têm mensalidade de R$90,00, e a partir do 5º mês, a mensalidade passa a ser de R$75,00. Como o irmão C estudou por 12 meses, ele pagou:

• Para os primeiros 4 meses:
  4 x 90 = R$360,00
• Para os próximos 8 meses (com o desconto):
  8 x 75 = R$600,00

O total pago por C foi:
Total de C = 360 + 600 = R$960,00

Valor total pago pelos três irmãos:

Somando o valor pago por A, B e C:
Total geral = 360 + 735 + 960 = R$2.055,00

Portanto, o valor total pago pelos três irmãos foi R$2.055,00.

A resposta correta é a letra C).