Probabilidade: Independência de Dois Eventos

Na probabilidade, dois eventos A e B são considerados independentes quando a ocorrência de um deles não afeta a probabilidade do outro. Esse conceito é fundamental para calcular probabilidades em experimentos onde os eventos não têm influência mútua.

Definição de Independência

Dois eventos A e B de um espaço amostral SS são independentes se:

P(A|B) = P(A)

Isso significa que, mesmo sabendo que B ocorreu, a probabilidade de A permanece a mesma.

De forma equivalente, se A e B são independentes, a probabilidade da interseção P(A∩B) é dada por:

P(A∩B) = P(A)⋅P(B)

Se A e B não são independentes, eles são chamados dependentes.

Exemplo 1: Lançamento de uma Moeda Três Vezes

Situação:
Uma moeda é lançada três vezes. Considere os eventos:

• A: Ocorrem pelo menos duas caras.
• B: Os três resultados são iguais (todas caras ou todas coroas).

Espaço amostral:

S = {(K, K, K), (K, K, C), (K, C, K), (K, C, C), (C, K, K), (C, K, C), (C, C, K), (C, C, C)}

Definir os eventos:

A = {(K, K, K), (K, K, C), (K, C, K), (C, K, K)}, com P(A) = 4/8 = 1/2

B = {(K, K, K), (C, C, C)}, com P(B) = 2/8 = 1/4

A∩B = {(K,K,K)}, com P(A∩B) = 1/8

Verificar a independência:
Para que A e B sejam independentes, deve-se verificar se:

P(A∩B) = P(A)⋅P(B)

Substituindo os valores:

P(A∩B) = 1/8,

P(A)⋅P(B) = 1/2⋅1/4 = 1/8

Como P(A∩B) = P(A)⋅P(B), os eventos A e B são independentes.

Exemplo 2: Prática de Tiro ao Alvo

Situação:
Duas pessoas participam de uma competição de tiro ao alvo:

• A probabilidade de a 1ª pessoa acertar é P(A) = 1/3
• A probabilidade de a 2ª pessoa acertar é P(B) = 2/3

Assume-se que A e B são independentes.

a) Qual é a probabilidade de ambos acertarem o alvo?

P(A∩B) = P(A)⋅P(B)

Substituindo os valores:

P(A∩B) = 1/3⋅2/3 = 2/9

b) Qual é a probabilidade de ao menos um acertar o alvo?
Ao menos um acertar significa A∪B. A fórmula é:

P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)

Substituindo os valores:

P(A∪B) = 1/3 + 2/3 − 2/9

P(A∪B) = 1 − 2/9 = 7/9

Resumo de Propriedades Importantes

1. Se A e B são independentes, então:
   • P(A∩B) = P(A)⋅P(B)
   • A e B^C (complemento de B) também são independentes.
   • A^C e B também são independentes.
   • A^C e B^C também são independentes.
2. Se os eventos não são independentes, então a probabilidade de A pode ser afetada pela ocorrência de B, e vice-versa.

Conclusão

A independência de eventos é um conceito essencial na probabilidade, especialmente em situações onde a ocorrência de um evento não interfere na ocorrência do outro. Com a prática, a verificação de independência e o uso da fórmula P(A∩B) = P(A)⋅P(B) se tornam ferramentas poderosas para resolver problemas de probabilidade em diversos contextos.