Progressão Aritmética (PA)

Introdução

A Progressão Aritmética (PA) é uma sequência de números na qual cada termo, a partir do segundo, é obtido pela soma do termo anterior com uma constante chamada de razão. As PA’s são amplamente utilizadas em diversas áreas, como finanças, física e economia, devido à sua simplicidade e aplicação prática. Elas permitem o estudo de padrões numéricos e a análise de crescimento ou decrescimento linear em diversos contextos.

Termo Geral

O termo geral de uma Progressão Aritmética é uma expressão que permite calcular qualquer termo da sequência a partir de sua posição (n). Dado o primeiro termo a₁ e a razão r, o termo geral a_n pode ser expresso pela fórmula:

Onde:

• ( a_n ) é o n-ésimo termo da PA,
• ( a₁ ) é o primeiro termo da PA,
• ( r ) é a razão da PA,
• ( n ) é a posição do termo na sequência.

Essa fórmula é essencial para determinar qualquer termo sem a necessidade de calcular todos os anteriores, economizando tempo e esforço.

Exemplo:
Considere a PA onde a₁ = 5 e r = 3. Para encontrar o 10º termo a₁₀:

a₁₀ = 5 + (10-1) . 3 = 5 + 9 . 3 = 5 + 27 = 32

Razão

A razão ( r ) é a constante que é somada ao termo anterior para obter o próximo termo da sequência. Ela pode ser positiva, negativa ou zero. A razão determina o comportamento da PA:

• ( r > 0 ): A sequência é crescente.
• ( r < 0 ): A sequência é decrescente.
• ( r = 0 ): A sequência é constante, ou seja, todos os termos são iguais.

A razão pode ser calculada pela diferença entre qualquer termo e o termo anterior:

Exemplo:
Seja uma PA com ( a₁ = 7 ) e ( a₂ = 10 ). A razão ( r ) é:

r = 10 – 7 = 3

Termo Médio

Em uma Progressão Aritmética, o termo médio entre dois termos ( a_i ) e ( a_j ) é simplesmente a média aritmética desses termos. Se ( a_k ) é o termo médio entre ( a_i ) e ( a_j ), então:

Essa propriedade é especialmente útil para verificar se uma sequência é uma PA ou para encontrar um termo intermediário.

Exemplo:
Considere a PA ( 2, 5, 8, 11, 14 ). O termo médio entre ( a₁ = 2 ) e ( a₃ = 8 ) é:

Soma dos Termos

A soma dos n primeiros termos de uma Progressão Aritmética é dada pela fórmula:

Onde:

• ( S_n ) é a soma dos n primeiros termos,
• ( n ) é o número de termos,
• ( a₁ ) é o primeiro termo,
• ( a_n ) é o n-ésimo termo.

Alternativamente, a soma pode ser calculada usando a razão ( r ):

Essa fórmula é especialmente útil para calcular rapidamente a soma de uma grande quantidade de termos sem precisar somar cada um individualmente.

Exemplo:
Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PA onde ( a₁ = 5 ) e ( r = 3 ):

Conclusão

A Progressão Aritmética é uma ferramenta poderosa e fundamental na matemática. Compreender seu termo geral, razão, termo médio e soma permite resolver uma vasta gama de problemas. Seja em análise de padrões ou em aplicações práticas, a PA desempenha um papel essencial no estudo de sequências numéricas e em várias disciplinas científicas.

Leia também

Progressão Geométrica (PG)

Questões de Progressão Aritmética

1. Dada a PA: 3,7,11,15,… Qual é o 10º termo dessa sequência?
   a) 31
   b) 35
   c) 39
   d) 43
2. Se o primeiro termo de uma PA é 5 e a razão é 8, qual é o valor do 7º termo?
   a) 45
   b) 53
   c) 61
   d) 69
3. Em uma PA, o 4º termo é 18 e o 9º termo é 33. Qual é a razão dessa progressão?
   a) 2
   b) 3
   c) 4
   d) 5
4. Determine a soma dos 20 primeiros termos de uma PA onde a1=10 e r=5.
   a) 1100
   b) 1200
   c) 1300
   d) 1400
5. Em uma PA, o 3º termo é 14 e o 7º termo é 26. Qual é a soma dos 12 primeiros termos?
   a) 192
   b) 204
   c) 216
   d) 228
6. Dada a PA: 6,14,22,30,… qual é o 15º termo?
   a) 98
   b) 102
   c) 106
   d) 110
7. Se o 2º termo de uma PA é 12 e o 5º termo é 24, qual é o 8º termo?
   a) 36
   b) 38
   c) 40
   d) 42
8. Calcule a soma dos 25 primeiros termos de uma PA onde a1=7 e r=3.
   a) 925
   b) 950
   c) 975
   d) 1000
9. Em uma PA, o 1º termo é 2 e o 10º termo é 38. Qual é o valor do 15º termo?
   a) 58
   b) 62
   c) 66
   d) 70
10. Se o 6º termo de uma PA é 27 e o 11º termo é 42, qual é a soma dos 15 primeiros termos?
    a) 345
    b) 360
    c) 375
    d) 390

Gabarito

1. c
2. c
3. b
4. d
5. c
6. b
7. c
8. c
9. c
10. c