Confira a resolução detalhada de uma questão típica da banca VUNESP sobre Raciocínio Lógico para concursos públicos de nível superior. Aprenda o método passo a passo e prepare-se com confiança para suas provas!
(Banca VUNESP – Nível Superior – 2024 – Sequências Lógicas) A figura indica quadrados de lado 3 u.c., 4 u.c. e 5 u.c., com vértices nas linhas de intersecção da malha quadriculada. Inscritos a esses quadrados estão desenhados todos os possíveis quadrados, de vértices nas linhas de intersecção da malha quadriculada, todos menores do que o quadrado original.
A tabela a seguir resume algumas informações a respeito dessa sequência de figuras.
Generalizando o padrão descrito para um quadrado de lado n, o quadrado de maior área a ele inscrito terá área, em unidades de área, igual a
A) n2 + 1.
B) n2 – 4n + 8.
C) n2 – 2n + 2.
D) n2 – n + 4.
E) n2 – n + 8.
Ver Solução
Para generalizar o padrão descrito para um quadrado de lado nn, vamos determinar a fórmula que representa a área do maior quadrado inscrito.
Primeiro, analisamos os dados da tabela para identificar um padrão:
- Para n = 3: Área do maior quadrado inscrito = 5
- Para n = 4: Área do maior quadrado inscrito = 10
- Para n = 5: Área do maior quadrado inscrito = 17
- Para n = 6: Área do maior quadrado inscrito = 26
A sequência das áreas é 5, 10, 17, 26, … , e as diferenças consecutivas são:
- 10 – 5 = 5
- 17 – 10 = 7
- 26 – 17 = 9
As diferenças consecutivas crescem de forma regular (5, 7, 9, …), indicando que a sequência é uma função quadrática.
A função geral para a área pode ser escrita como:
A(n) = an2 + bn + c
Agora, substituímos os valores (n, A(n)) nas equações:
- Para n = 3, A(3) = 5: 9a + 3b + c = 5
- Para n = 4, A(4) = 10: 16a + 4b + c = 10
- Para n = 5, A(5) = 17: 25a + 5b + c = 17
Subtraímos as equações para encontrar a, b, c:
- (16a + 4b + c) – (9a + 3b + c) = 10 – 5: 7a + b = 5
- (25a + 5b + c) – (16a + 4b + c) = 17 – 10: 9a + b = 7
Resolvendo as equações:
- Subtraindo (9a + b) – (7a + b) = 7 – 5: 2a = 2 ⟹ a = 1
- Substituindo a = 1 em 7a + b = 5: 7(1) + b = 5 ⟹ b = -2
- Substituindo a = 1 e b = -2 em 9a + 3b + c = 5: 9(1) + 3(-2) + c = 5 ⟹ c = 2
Portanto, a fórmula geral é: A(n) = n2 − 2n + 2
A alternativa correta é C) n2 − 2n + 2
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