Conceitos Fundamentais
Olá, pessoal! Nesta aula vamos falar de dois conceitos matemáticos muito importantes: razão e proporção. São ideias que utilizamos no dia a dia sem nem perceber, seja ao analisar distâncias em mapas, calcular velocidades ou ao lidar com receitas e misturas.
O que é Razão?
Uma razão é a comparação entre duas grandezas de mesma unidade, expressa por meio de uma divisão. Dados dois números reais a e b (com b ≠ 0), a razão de a para b é dada por:
\( R = \frac{a}{b} \)
Alguns exemplos de razões presentes no cotidiano:
- Escala de mapas: comparação entre a distância no desenho e a distância real.
- Velocidade média: razão entre distância percorrida e tempo gasto.
- Densidade demográfica: razão entre o número de habitantes e a área de uma região.
Exemplo 1 – Escala
Um terreno mede 50 metros de comprimento e sua representação em um desenho é de 20 cm. Qual é a escala do desenho?
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Para comparar, precisamos usar a mesma unidade. Como 1 metro = 100 cm, temos:
50 m = 5.000 cm.
A escala será: \( \frac{20}{5.000} = \frac{1}{250} \).
Resposta: A escala é 1:250.
Exemplo 2 – Densidade Demográfica
Uma cidade possui 220 km² de área e 20.100 habitantes. Qual a densidade populacional?
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Densidade populacional é dada por:
\( D = \frac{\text{População}}{\text{Área}} = \frac{20.100}{220} \approx 91 \) habitantes/km².
O que é Proporção?
Uma proporção é a igualdade entre duas razões. Em termos matemáticos:
\( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \)
onde a e d são chamados de extremos, e b e c de meios.
A principal propriedade é: o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
\( a \cdot d = b \cdot c \)
Exemplo 3 – Resolvendo Proporções
Resolva a proporção \( \frac{6}{24} = \frac{5}{x} \).
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Multiplicamos os extremos e os meios:
\( 6 \cdot x = 24 \cdot 5 \)
\( 6x = 120 \) → \( x = 20 \).
Exemplo 4 – Escala em Maquete
Uma maquete tem 80 cm de altura e está em escala 1:40. Qual é a altura real do edifício?
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Temos: \( \frac{1}{40} = \frac{80}{X} \).
Multiplicando: \( 1 \cdot X = 40 \cdot 80 = 3.200 \) cm.
Convertendo: \( 3.200 \, cm = 32 \, m \).
Resposta: O edifício tem 32 metros de altura.
Exemplo 5 – Mistura de Tintas
Para pintar uma parede, Fábio deve misturar tinta branca e tinta azul na razão de 5:3. Se ele precisa de 24 litros de mistura, quantos litros de cada cor serão necessários?
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A soma das partes é \( 5 + 3 = 8 \) partes.
1 parte = \( \frac{24}{8} = 3 \) litros.
Branca = \( 5 \cdot 3 = 15 \) litros, Azul = \( 3 \cdot 3 = 9 \) litros.
Conclusão
Razão e proporção estão presentes em diversas situações da vida cotidiana, desde cálculos de escalas e mapas até misturas e receitas. Dominar esses conceitos é essencial para desenvolver o raciocínio matemático e resolver problemas com eficiência.
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1. Escala de Mapa
Um mapa foi desenhado na escala 1:50.000. Se a distância entre duas cidades é de 12 cm no mapa, qual é a distância real entre elas?
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1 cm no mapa corresponde a 50.000 cm na realidade. Assim:
\( d = 12 \times 50.000 = 600.000 \, \text{cm} \).
Convertendo para km: \( 600.000 \, cm = 6 \, km \).
Resposta: 6 km.
2. Receita de Bolo
Uma receita de bolo pede 2 xícaras de açúcar para 3 xícaras de farinha. Se serão usadas 9 xícaras de farinha, quantas xícaras de açúcar serão necessárias para manter a proporção?
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A razão é \( \frac{açúcar}{farinha} = \frac{2}{3} \).
Se farinha = 9, temos \( \frac{2}{3} = \frac{x}{9} \).
Multiplicando: \( 3x = 18 \Rightarrow x = 6 \).
Resposta: 6 xícaras de açúcar.
3. Mistura de Combustíveis
Um mecânico mistura gasolina e óleo na razão de 50:1 para motores dois tempos. Quantos litros de óleo serão necessários para preparar 25 litros dessa mistura?
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Total de partes = 50 + 1 = 51.
1 parte = \( \frac{25}{51} \approx 0,49 \, \text{L} \).
Óleo = 1 parte = 0,49 L (aproximadamente 490 mL).
4. Proporção Direta
Se 8 operários constroem um muro em 15 dias, em quantos dias 12 operários fariam o mesmo serviço, mantendo a produtividade proporcional?
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A quantidade de operários e o tempo são inversamente proporcionais:
\( 8 \cdot 15 = 12 \cdot x \).
\( x = \frac{8 \cdot 15}{12} = 10 \) dias.
Resposta: 10 dias.
5. Regra de Três Simples
Se 5 kg de arroz custam R$ 27,50, quanto custarão 8 kg do mesmo arroz?
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A razão é \( \frac{5}{27,50} = \frac{8}{x} \).
\( 5x = 27,50 \cdot 8 = 220 \).
\( x = 44 \).
Resposta: R$ 44,00.
