Sistema de Equações – Concurso CORREIOS 2008 – Banca CONSULPLAN

Luís Alberto pagou uma conta de R$101,00 na Agência dos Correios que fica mais perto de sua casa. Ele pagou com notas de R$1,00; R$5,00 e R$10,00 obtendo o total de 20 notas. Se o número de notas de R$10,00 foi o máximo possível, o número de notas de R$5,00 foi:

A) um número primo.
B) um divisor de 12.
C) uma potência de 3.
D) um múltiplo de 12.
E) um número divisível por 5.

Solução em vídeo

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Chamaremos de A, B e C as quantidades de notas de R$10, R$5 e R$1, respectivamente, que Luís Alberto utilizou para efetuar o pagamento.

Portanto, o valor total pago por ele pode ser representado pela expressão

10A + 5B + 1C = 101

O enunciado diz que a quantidade total de notas é 20, ou seja

A + B + C = 20

Resumindo:

  1.    10A + 5B + 1C = 101
  2.    A + B + C = 20

Isolando C na segunda equação, temos

C = 20 – A – B

Substituindo na primeira,

10A + 5B + (20 – A – B) = 101

10A – A + 5B – B = 101 – 20

9A + 4B = 81

Temos uma relação entre as quantidades de notas de R$10 e de R$5. A questão pergunta sobre as notas de R$5, logo, vamos isolar B:

4B = 81 – 9A

B = (81 – 9A) / 4

Devemos nos lembrar que A e B devem ser números inteiros (pois representam quantidades) e que A deve assumir o maior valor possível que satisfaça as demais condições.

 – Para que B seja um inteiro, o resultado de (81 – 9A) deve ser um múltiplo de 4 e, portanto, um número par. 

 – Para que (81 – 9A) seja par, é necessário que 9A seja ímpar (ímpar – ímpar = par). 

 – Para que 9A seja ímpar, é necessário que A seja ímpar.

Logo, A é um número ímpar.

Assim, veremos quais o valores que A pode assumir, do maior pro menor. O primeiro que satisfazer todas as condições, será o número que procuramos.

  • A deve ser menor que 10:

Se A fosse 10, então teríamos, no mínimo, R$106, pois deve haver pelo menos uma nota de R$5 e pelo menos uma de R$1.

Assim, teríamos 

(10 * 10) + 5 + 1 = 106

O que excederia o valor de R$101.

Restam então os valores 9, 7, 5, 3 e 1.

  • Se A fosse 9:

B = (81 – 9*9) / 4

B = (81 – 81) / 4

B = 0 / 4

B = 0

B não pode ser 0, pois tem que haver pelo menos uma nota de cada. Logo, A não pode ser 9.

  • Se A fosse 7;

B = (81 – 9*7) / 4

B = (81 – 63) / 4

B = 18 / 4

B = 4,5

B deve ser um inteiro, logo, A não pode ser 7.

  • Se A fosse 5:

B = (81 – 9*5) / 4

B = (81 – 45) / 4

B = 36 / 4

B = 9

Encontramos os valores que procurávamos:

A = 5

B = 9

B é 9, que é uma potência de 3 (9 = 3²).

Logo, a alternativa C está correta.

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