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Questão de Analise Combinatória – Princípio Fundamental da Contagem
Quantos divisores positivos tem o número N = 2a ⋅ 3b ⋅ 5c ⋅ 7d?
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1 – Análise Combinatória – Divisores de um Número
Para calcular o número de divisores positivos de um número N = 2a⋅3b⋅5c⋅7d, utilizamos a fórmula baseada nos expoentes da fatoração do número em primos.
2 – Entendendo o Enunciado
O número NN está fatorado como:
N = 2a⋅3b⋅5c⋅7d
Cada divisor é da forma:
d = 2x1⋅3x2⋅5x3⋅7x4
Onde:
- x1 ∈ {0, 1, …, a} (total de a+1 valores para x1).
- x2 ∈ {0,1,…,b} (total de b+1 valores para x2).
- x3 ∈ {0,1,…,c}(total de c+1 valores para x3).
- x4 ∈ {0, 1, …, d} (total de d+1 valores para x4).
O total de divisores é o número de combinações possíveis desses expoentes.
3 – Fórmula para o Número de Divisores
O número total de divisores é dado pela fórmula:
Total de divisores = (a + 1)⋅(b + 1)⋅(c + 1)⋅(d + 1)
4 – Resposta
O número N = 2a⋅3b⋅5c⋅7d possui exatamente (a + 1)⋅(b + 1)⋅(c + 1)⋅(d + 1)
divisores positivos, onde a, b, c, d são os expoentes da fatoração de N.
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