Funções Reais: Definição, Representação e Análise Gráfica


As funções reais desempenham um papel fundamental na matemática, sendo amplamente utilizadas em diversas áreas, como física, engenharia e economia. Neste artigo, vamos explorar detalhadamente o conceito de função, sua representação e análise gráfica.


O que é uma função?

Uma função é uma regra que estabelece uma relação entre dois conjuntos, onde a cada elemento do primeiro conjunto (domínio) é atribuído um único elemento do segundo conjunto (contradomínio). Matematicamente, uma função pode ser representada como:

f: A → B

Onde:

  • A é o domínio (conjunto de entrada),
  • B é o contradomínio (conjunto de saída),
  • f(x) representa a imagem do elemento x de A.

Para que uma relação seja considerada uma função, cada elemento do domínio deve possuir uma única correspondência no contradomínio.


Variável Dependente e Independente

Em uma função matemática, trabalhamos com duas variáveis:

  • Variável independente (x): É a entrada da função, pertencente ao domínio.
  • Variável dependente (y): É o valor resultante da função, ou seja, a saída.

A relação entre essas variáveis é expressa por meio da notação: y = f(x)

Por exemplo, na função f(x) = 2x + 3, x é a variável independente e y é a variável dependente.

Exemplos

Um motorista deseja calcular o consumo de combustível do seu carro durante uma viagem. Sabe-se que o consumo do veículo é de 12 km por litro de gasolina. O motorista quer prever quantos litros de gasolina serão necessários para percorrer diferentes distâncias.

Pergunta:

Se o motorista pretende viajar 240 km, quantos litros de gasolina ele precisará?


Identificação das Variáveis

  • Variável Independente (x): Distância percorrida (em km)
    • O motorista pode escolher qualquer distância para percorrer.
  • Variável Dependente (y): Quantidade de gasolina consumida (em litros)
    • O consumo depende da distância percorrida.

Resolução

A relação entre as variáveis pode ser expressa por uma função matemática:

y = x/12

Substituindo x = 240 km:

y = 240/12 = 20 litros


Conclusão

Neste problema:

  • Distância percorrida (x) é a variável independente, pois o motorista pode escolher a quilometragem.
  • Consumo de gasolina (y) é a variável dependente, pois seu valor depende da distância percorrida.

Domínio, Contradomínio e Imagem

  • Domínio: Conjunto de todos os valores possíveis para a variável independente x.
  • Contradomínio: Conjunto de todos os valores que a função pode teoricamente atingir.
  • Imagem: Conjunto de todos os valores assumidos pela variável dependente y, considerando os valores de x dentro do domínio.

Exemplo:
Para a função f(x) = x2, temos:

  • Domínio: Todos os números reais R
  • Contradomínio: Todos os números reais R
  • Imagem: Apenas números reais não negativos R+∪{0}

Interpretação de Diagramas

Uma forma visual de entender funções é através de diagramas de setas. No diagrama de função, cada elemento do domínio se conecta a um único elemento do contradomínio.

Função válida vs. relação que não é função

  • Se um elemento do domínio se relaciona com mais de um elemento do contradomínio, não é função.
  • Se cada elemento do domínio tem apenas um correspondente no contradomínio, é função.

Exemplo:

  • Não é função: Se 1 se liga a 4 e 5 ao mesmo tempo.
  • Não é função: no conjunto A, 2 não liga com ninguém.
  • É função: Se cada elemento do domínio se liga a apenas um elemento do contradomínio.

Representação de uma Função

Uma função pode ser representada de três formas principais:

  1. Por tabelas: Listando valores de xx e seus respectivos valores de y.
  2. Por gráficos: Representação visual no plano cartesiano.
  3. Por fórmulas: Expressões algébricas, como f(x) = 2x + 3.

Como construir o gráfico de uma função?

Para traçar um gráfico corretamente, seguimos os seguintes passos:

  1. Escolhemos alguns valores de x.
  2. Calculamos os valores correspondentes de y.
  3. Marcamos os pontos (x, y) no plano cartesiano.
  4. Ligamos os pontos, respeitando a tendência da função.

Teste da Reta Vertical

Para verificar se um gráfico representa uma função, aplicamos o teste da reta vertical: se uma reta vertical cortar o gráfico em mais de um ponto, não é função.


Raiz ou Zero de uma Função

A raiz de uma função é o valor de x para o qual f(x) = 0, ou seja, onde o gráfico intercepta o eixo x.

Exemplo:
Na função f(x) = x – 3, a raiz ocorre quando:

x − 3 = 0 ⇒ x = 3

Ou seja, o gráfico cruza o eixo x no ponto (3,0).

Domínio e Imagem de uma Função: Como Determinar a Partir do Gráfico

A determinação do domínio e da imagem de uma função pode ser feita de maneira visual a partir de seu gráfico no plano cartesiano. Esses dois conceitos são fundamentais para entender o comportamento da função e sua relação entre os conjuntos de entrada e saída.


1. O que é o Domínio de uma Função?

O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores possíveis para a variável independente x, ou seja, os valores de entrada da função. No gráfico, o domínio pode ser identificado observando todas as abscissas (valores no eixo x) que possuem um correspondente no eixo y.

📌 Como determinar o domínio no gráfico?

  • O domínio de uma função corresponde à projeção horizontal de seu gráfico sobre o eixo x.
  • Basta verificar quais valores de x possuem pelo menos um ponto da função.

Exemplo:
Na Figura 3a, vemos que o gráfico está definido apenas para um intervalo de valores de x. Portanto, o domínio da função é o intervalo em que o gráfico está presente no eixo x.


2. O que é a Imagem de uma Função?

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores possíveis que a variável dependente y pode assumir, ou seja, os valores resultantes da função.

📌 Como determinar a imagem no gráfico?

  • A imagem de uma função corresponde à projeção vertical de seu gráfico sobre o eixo y.
  • Basta observar quais valores de y são atingidos pela função.

Exemplo:
Na Figura 3b, vemos que o gráfico atinge apenas certos valores no eixo y. Assim, a imagem da função é o conjunto de todos os valores no eixo y que possuem um correspondente no eixo x.


3. Exemplo Prático

Considere o gráfico de uma função que inicia em x = -2 e termina em x = 5, com valores de y variando entre −1 e 3:

  • Domínio: [-2, 5] (os valores de x onde a função está definida).
  • Imagem: [-1, 3](os valores de y que a função assume).

Raiz ou Zero de uma Função: Identificação Gráfica e Aplicações

Na matemática, as raízes de uma função, também chamadas de zeros da função, são os valores de x para os quais f(x) = 0. Ou seja, são os pontos onde o gráfico da função corta o eixo horizontal (eixo x) no plano cartesiano. Esses pontos são fundamentais para a análise do comportamento da função, pois indicam onde a variável dependente y assume valor nulo.


1. Identificação das Raízes no Gráfico

No gráfico acima, observamos uma função que intercepta o eixo x em três pontos distintos: x1​, x2​ e x3​. Esses valores de x são as raízes da função, pois para esses valores, temos: f(x1)=0, f(x2)=0, f(x3)=0.

Ou seja, nesses pontos, a função não possui valor positivo nem negativo, tornando-se nula.


2. Como Encontrar as Raízes de uma Função?

As raízes de uma função podem ser determinadas de diferentes formas, dependendo da equação da função:

2.1. Funções Lineares f(x) = ax + b

Para funções de primeiro grau, a raiz pode ser encontrada resolvendo: ax + b = 0

Exemplo:
Dada a função f(x) = 2x – 4, encontramos a raiz resolvendo: 2x − 4 = 0 ⇒ x = 4/2=2

Assim, a raiz dessa função é x=2x = 2x=2.


2.2. Funções Quadráticas (x) = ax2 + bx + c

Para funções de segundo grau, as raízes são encontradas utilizando a fórmula do segundo grau:

Exemplo:
Para f(x) = x2 − 5x + 6, temos:

Portanto, as raízes da função são x = 2 e x = 3.


3. Importância das Raízes na Análise de Funções

As raízes são essenciais para compreender o comportamento de uma função, pois indicam onde a curva cruza o eixo xxx. Algumas aplicações importantes incluem:

  • Equações de movimento: Em física, as raízes podem representar o instante em que um objeto toca o solo.
  • Análise financeira: Em economia, podem indicar quando um investimento começa a ter lucro (quando a função do lucro cruza o eixo xxx).
  • Engenharia: Em circuitos elétricos, as raízes de uma função podem representar mudanças críticas no comportamento da corrente elétrica.

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