Inequação do Segundo Grau – Matemática CESPE – Concurso Público

(CESPE / CEBRASPE  2024 – Prefeitura de Camaçari – BA – Assistente Administrativo)

Uma empresa verificou que só haverá lucro na venda de 100 unidades de determinado produto se o seu preço p satisfizer à desigualdade -10p2 + 480p – 4.320 > 0. Nesse caso, para que a empresa registre lucro na venda do produto, é necessário que

A) R$ 12,00 < p < R$ 36,00.

B) p = R$ 1.440,00.

C) p > 0.

D) p > R$ 36,00.

E) 0 < p < R$ 12,00.

Solução em vídeo

Vamos resolver a desigualdade dada para encontrar o intervalo de preços ( p ) em que a empresa terá lucro.

Passo a Passo:

1. Análise da desigualdade: A desigualdade dada é: [
   -10p² + 480p – 4320 > 0
   Essa é uma inequação do segundo grau da forma ( ax² + bx + c > 0 ), onde:

• ( a = -10 )
• ( b = 480 )
• ( c = -4320 )

Verifique a alternativa correta: A empresa terá lucro na venda do produto se o preço ( p ) estiver no intervalo: A) R$ 12,00 < p < R$ 36,00.

Calcule as raízes da equação quadrática associada: Para resolver a inequação, precisamos encontrar as raízes da equação quadrática correspondente:
-10p² + 480p – 4320 = 0

Podemos usar a fórmula de Bhaskara:

Substituindo os valores de ( a ), ( b ), e ( c ):

Calcule o discriminante (Δ):

Agora, calcule as raízes:

Então, temos duas raízes:

Determine o intervalo da solução: As raízes da equação são ( p₁ = 12 ) e ( p₂ = 36 ). Como o coeficiente de ( p² ) é negativo (-10), a parábola abre para baixo. Assim, a desigualdade ( -10p² + 480p – 4320 > 0 é satisfeita entre as raízes. Portanto, a solução é o intervalo:
12 < p < 36

Verifique a alternativa correta:

A empresa terá lucro na venda do produto se o preço ppp estiver no intervalo:

A) R$ 12,00 < p < R$ 36,00.

Outra maneira de resolver:

Vamos dividir a inequação dada por 10 para simplificar e resolver o problema.

Passo a Passo:

Divida a inequação por 10: A inequação original é:
-10p² + 480p – 4320 > 0
Dividindo todos os termos por 10:
-p² + 48p – 432 > 0

Multiplique por -1 para inverter a desigualdade: Para facilitar, multiplique toda a inequação por -1. Lembre-se de inverter o sinal da desigualdade:
p² – 48p + 432 < 0

Calcule as raízes da equação quadrática associada: Agora, vamos encontrar as raízes da equação quadrática:
p² – 48p + 432 = 0
Para isso, usamos a fórmula de Bhaskara:

Aqui, (a = 1), (b = -48), e (c = 432). Vamos calcular o discriminante (Δ):

Calcule as raízes:

Determine o intervalo da solução: As raízes da equação são (p₁ = 12) e (p₂ = 36). Como o coeficiente de (p²) é positivo (1), a parábola abre para cima. A desigualdade (p² – 48p + 432 < 0) é satisfeita entre as raízes. Portanto, a solução da inequação é o intervalo:
12 < p < 36

Verifique a alternativa correta: A empresa terá lucro na venda do produto se o preço (p) estiver no intervalo: A) R$ 12,00 < p < R$ 36,00.