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(IBFC – 2023 – Equação de 2º Grau) A equação do segundo grau dada por y = x2 + 2(k +1)x+ 1, com k ∈ ℝ, possui duas raízes reais e iguais, se k for ______.
Assinale a alternativa que preencha corretamente a lacuna.
A) 1 ou 3
B) −1 ou −5
C) −3 ou 2
D) 0 ou −2
Ver Solução
Para que uma equação do segundo grau tenha duas raízes reais e iguais, o discriminante ( \Delta ) deve ser igual a zero.
A equação dada é:
y = x2 + 2(k + 1)x + 1
Comparando com a forma geral ( ax2 + bx + c = 0 ), temos:
- a = 1
- b = 2(k + 1)
- c = 1
O discriminante ( Δ ) é dado por:
Δ = b2 – 4ac
Substituindo os valores de ( a ), ( b ), e ( c ):
Δ = [2(k + 1)]2 – 4 ⋅ 1 ⋅1
Δ= 4(k + 1)2 – 4
Para que as raízes sejam reais e iguais, ( Δ ) deve ser igual a zero:
4(k + 1)2 – 4 = 0
Dividindo ambos os lados por 4:
(k + 1)2 – 1 = 0
Isso é uma diferença de quadrados, então podemos escrever:
(k + 1 + 1)(k + 1 – 1) = 0
(k + 2)k = 0
k + 2 = 0 ⇒ k = -2
k = 0
Resposta
Alternativa correta: D) 0 ou −2
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