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(IBFC – 2023 – Números Complexos) Um número complexo z = a + bi, em que a e b são números reais e i é a unidade imaginária (i2 = – 1). Para que o produto dos números complexos (x + i). (4 + 5i) seja um número real puro, o valor de x deve ser:
A) −4/5
B) 4/5
C) −5/4
D) 5/4
E) 0
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Para que o produto dos números complexos (x + i) ⋅ (4 + 5i) seja um número real puro, a parte imaginária do resultado deve ser zero. Vamos calcular o produto e determinar o valor de x que atende a essa condição.
Passo 1: Expandir o produto
O produto (x + i) ⋅ (4 + 5i) pode ser calculado usando a propriedade distributiva:
(x + i)(4 + 5i) = x ⋅ 4 + x ⋅ 5i + i ⋅ 4 + i ⋅ 5i
Explicando cada termo:
- x ⋅ 4 = 4x
- x ⋅ 5i = 5xi
- i ⋅4 = 4i
- i ⋅ 5i = 5i2 = 5(-1) = -5
Assim, o produto é:
(x + i)(4 + 5i) = 4x + 5xi + 4i – 5
Agora, vamos organizar os termos em partes real e imaginária:
(x + i)(4 + 5i) = (4x – 5) + (5x + 4)i
Passo 2: Condição para o número ser um real puro
Para que o número seja real puro, a parte imaginária deve ser zero. Portanto:
5x + 4 = 0
Resolvendo para x:
x = -4/5
Resposta
O valor de x deve ser:
A) -4/5
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