Pontos Notáveis do Triângulo e Propriedades

Medianas e baricentro

Num triângulo ABC, marquemos M₁ , ponto médio do lado BC.

Tracemos o segmento AM₁:

O segmento AM₁ é uma mediana do triângulo ABC.

Mediana de um triângulo é um segmento com extremidades num vértice e no ponto médio do lado oposto.

Um triângulo tem três medianas. Na figura, as três medianas são:

• AM₁, mediana relativa ao lado BC ou ao vértice A;

• BM₂, mediana relativa ao lado AC ou ao vértice B;

• CM₃, mediana relativa ao lado AB ou ao vértice C.

As três medianas de um triângulo encontram-se num ponto chamado baricentro do triângulo.

Na figura acima, G é o baricentro do triângulo ABC.

Bissetrizes e incentro

Num triângulo ABC, tracemos a bissetriz AS₁, relativa ao ângulo A. Chamemos de S₁ o ponto de encontro da bissetriz com o lado BC.

Destaquemos o segmento AS₁.

O segmento AS₁ é uma bissetriz do triângulo ABC.

Observe que:

• o segmento AS₁ está contido na semirreta AS₁ (bissetriz do ângulo A);

• S₁ é a interseção do lado BC com a bissetriz do ângulo A

Bissetriz de um triângulo é um segmento com extremidades num vértice e no lado oposto e que divide o ângulo desse vértice em dois ângulos congruentes.

Um triângulo tem três bissetrizes. Na figura, as três bissetrizes são:

• AS₁, bissetriz relativa ao lado BC ou ao vértice A;
• BS₂, bissetriz relativa ao lado AC ou ao vértice B;
• CS₃, bissetriz relativa ao lado AB ou ao vértice C.

As três bissetrizes de um triângulo encontram-se num ponto chamado incentro do triângulo

Na figura acima, S é o incentro do triângulo ABC.

Alturas e ortocentro

Num triângulo ABC, tracemos pelo ponto A uma reta r perpendicular à reta que contém o lado BC.

A reta que contém o lado BC, reta BC, é chamada de reta suporte do lado BC.

Chamemos de H₁ o ponto de encontro da reta r com a reta BC:

Destaquemos o segmento AH₁ :

O segmento AH₁ é uma altura do triângulo ABC.

O ponto H₁ é a interseção da reta BC com a perpendicular a ela conduzida pelo ponto A. H₁
também é chamado pé da altura.

Altura de um triângulo é o segmento perpendicular à reta suporte de um lado, com extremidade nessa reta e no vértice oposto a esse lado.

Um triângulo tem três alturas. Observe:

Nas figuras acima, as três alturas são:

• AH₁, altura relativa ao lado BC ou ao vértice A;
• BH₂ altura relativa ao lado AC ou ao vértice B;
• CH₃, altura relativa ao lado AB ou ao vértice C.

As três alturas, ou os seus prolongamentos, encontram-se num ponto chamado ortocentro do triângulo.

Nas figuras acima, H é o ortocentro do triângulo ABC, o qual pode ser interno ao triângulo (quando o triângulo ABC é acutângulo) ou externo ao triângulo (quando o triângulo ABC é obtusângulo).

Mediatrizes e circuncentro

Num triângulo ABC, tracemos a reta m₁ perpendicular ao lado BC e passando por M₁ , ponto médio de BC:

A reta m₁ é a mediatriz do lado BC.

Um triângulo tem três mediatrizes de lados.

Na figura ao lado, as três mediatrizes são:

• m₁ , mediatriz de BC;
• m₂ , mediatriz de AC;
• m₃, mediatriz de AB;

As três mediatrizes dos lados de um triângulo encontram-se num ponto chamado circuncentro do triângulo.

Na figura acima, O é o circuncentro do triângulo ABC.

A geometria é uma área fundamental da matemática, dedicada ao estudo das formas, tamanhos e propriedades de figuras no plano e no espaço.

Lista de exercício com solução de Pontos Notáveis do Triângulo

Exercício 01 – Relacione corretamente ao nome do ponto:

a) Ponto de encontro das medianas de um triângulo.
b) Ponto de encontro das bissetrizes de um triângulo.
c) Ponto de encontro das retas suportes das alturas de um triângulo.
d) Ponto de encontro das mediatrizes dos lados de um triângulo.

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Exercício 02 – Na figura abaixo, M é o ponto médio de AC.
Identifique:

a) uma mediana;
b) uma bissetriz;
c) uma altura;

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Exercício 03 – Nesta figura, AM é mediana. Calcule as medidas dos lados do triângulo.

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Exercício 04 – No triângulo ABC abaixo, em que B mede 80° e C mede 60°, AS é bissetriz. Determine o ângulo x = BAS.

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Exercício 05 – No triângulo abaixo, retângulo em A (Â mede 90°), AH é altura. Determine x, y e z.

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Exercício 06 – Na figura, I é o incentro do triângulo ABC. Sabendo que BIC mede 8x e A mede x, determine x.

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Exercício 07 – Quanto mede o ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos agudos de um triângulo retângulo?

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Exercício 08 – No triângulo RST, RP é bissetriz. Determine x, y, z e t.

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Exercício 09 – Neste triângulo ABC, retângulo em A, AH é altura e AS é bissetriz. Calcule x, y e z.

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Exercício 10 – No triângulo ABC abaixo, AH é altura e AS é bissetriz. Determine x.

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Exercício 11 -No triângulo ABC, AS1 e BS2 são bissetrizes. Determine x.

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