🎯 Análise Combinatória: Teoria, Exemplos e Exercícios Resolvidos Passo a Passo

A Análise Combinatória é o ramo da Matemática responsável por estudar métodos para contar elementos de forma inteligente, sem precisar listar todas as possibilidades. Isso se torna essencial em provas, concursos e aplicações práticas da vida real.

Neste artigo, você encontrará a teoria bem explicada, fórmulas destacadas, exemplos contextualizados, exercícios resolvidos passo a passo e questões extras para treinar.

✅ Princípio da Multiplicação

O que é?

Quando uma tarefa é dividida em etapas independentes, devemos multiplicar o número de possibilidades de cada etapa.

Fórmula:

Total = opções₁ × opções₂ × … × opçõesₙ

Exemplos:

Exemplo 1:
Quantas senhas podem ser formadas com 2 letras (A-Z) seguidas de 2 números (0-9)?

Solução:
Letras: 26 opções para cada → 26 × 26
Números: 10 opções para cada → 10 × 10
Total: 26 × 26 × 10 × 10 = 67.600

Exemplo 2:
Um combo é formado por 4 tipos de hambúrguer, 3 tipos de batata e 5 refrigerantes. Quantos combos diferentes posso montar?

Solução: 4 × 3 × 5 = 60

➕ Princípio da Adição

O que é?

Usado quando se pode realizar uma coisa ou outra, mas não ambas ao mesmo tempo. Somamos as opções.

Fórmula:

Total = opções₁ + opções₂ + … + opçõesₙ

Exemplos:

Exemplo 1:
Uma pessoa pode escolher entre 3 peças de teatro ou 4 filmes.

Total = 3 + 4 = 7 possibilidades

Exemplo 2:
Uma lanchonete oferece 6 tipos de suco ou 5 tipos de chá.

Total = 6 + 5 = 11 opções

🔁 Permutação Simples

O que é?

Número de formas de organizar todos os elementos de um conjunto, sem repetição.

Fórmula:

Pₙ = n!
(n fatorial é o produto de todos os inteiros de 1 até n)

Exemplos:

Exemplo 1:
Quantas formas diferentes posso organizar 5 livros na estante?

P₅ = 5! = 5×4×3×2×1 = 120

Exemplo 2:
Quantos anagramas diferentes da palavra “FIM”?

P₃ = 3! = 6

🔁 Permutação com Repetição

O que é?

Quando há elementos repetidos, precisamos dividir o fatorial total pelas repetições.

Fórmula:

P = n! / (a! × b! × …)
Onde a, b… são as quantidades de elementos repetidos.

Exemplos:

Exemplo 1:
Quantos anagramas da palavra “COCO”?

Temos 4 letras, com 2 C e 2 O → 4! / (2! × 2!) = 24 / 4 = 6

Exemplo 2:
Quantas formas distintas com “SALAS”?

Temos: S (2x), A (2x), L (1x) → 5! / (2! × 2!) = 120 / 4 = 30

🧮 Arranjo Simples

O que é?

Quando escolhemos parte dos elementos, com ordem e sem repetição.

Fórmula:

Aₙ,ₚ = n! / (n – p)!

Exemplos:

Exemplo 1:
De 8 candidatos, de quantas formas diferentes posso escolher um presidente, vice e secretário?

A₈,₃ = 8! / (8 – 3)! = 8 × 7 × 6 = 336

Exemplo 2:
Quantas senhas diferentes posso formar com 4 dígitos distintos de 0 a 9?

A₁₀,₄ = 10 × 9 × 8 × 7 = 5.040

🔢 Combinação Simples

O que é?

Escolha de parte dos elementos, sem ordem e sem repetição.

Fórmula:

Cₙ,ₚ = n! / [p!(n – p)!]

Exemplos:

Exemplo 1:
Quantas duplas diferentes posso formar entre 6 pessoas?

C₆,₂ = 6! / (2! × 4!) = 720 / 48 = 15

Exemplo 2:
De 10 questões, escolher 4 para responder:

C₁₀,₄ = 210

🧠 Quadro Comparativo

🧪 Exercícios Resolvidos

1. Quantas senhas com 3 letras (sem repetir) posso formar com as letras A, B, C, D, E?

Solução: Arranjo de 3 entre 5 →
A₅,₃ = 5 × 4 × 3 = 60

2. Quantas comissões de 4 pessoas posso montar com 10 candidatos?

Solução: Combinação →
C₁₀,₄ = 210

3. Quantos anagramas a palavra TATA possui?

T: 2 letras | A: 2 letras →
P = 4! / (2!2!) = 24 / 4 = 6 anagramas

4. Um combo inclui: 3 tipos de lanche, 2 tipos de suco e 4 tipos de sobremesa. Quantos combos posso formar?

Princípio multiplicativo: 3 × 2 × 4 = 24 combos

📝 Desafio para você

1. Quantos anagramas tem a palavra “ARARA”?
2. Quantas comissões de 3 pessoas podem ser formadas entre 7 pessoas?
3. De quantas formas diferentes posso distribuir 3 prêmios entre 10 pessoas?

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🥎 Lista de Exercícios de Analise Combinatória com Solução

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