📘 Lista de Exercícios – Limites com Indeterminações Notáveis

Nesta lista você vai praticar as principais formas de indeterminação que aparecem em problemas de limites. São exercícios cuidadosamente selecionados para explorar, passo a passo, como resolver expressões que inicialmente parecem sem solução, como:

• \( \frac{0}{0} \)
• \( \frac{\infty}{\infty} \)
• \( \infty – \infty \)
• \( 0 \cdot \infty \)
• \( 0^0 \)
• \( \infty^0 \)

Cada questão vem acompanhada de alternativas e uma solução detalhada, utilizando as técnicas mais adequadas: fatoração, racionalização, identidades trigonométricas, logaritmos e, quando necessário, a Regra de L’Hôpital.

Ideal para: estudantes do Ensino Médio, Ensino Superior, e também para quem está se preparando para concursos e vestibulares.

Limites Indeterminados

Exercícios Resolvidos – Indeterminação do tipo \( \frac{\infty}{\infty} \)

Confira abaixo 6 exercícios com soluções comentadas que abordam limites com a indeterminação do tipo \( \infty/\infty \).

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1. Calcule o limite: \( \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 5x – 7}{x^2 – 2x + 4} \)

• (A) 3
• (B) 1
• (C) 0
• (D) \( \infty \)
• (E) 5

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Ambos os polinômios tendem ao infinito quando \( x \to \infty \), portanto temos a forma \( \frac{\infty}{\infty} \).

Dividimos todos os termos pelo maior grau no denominador, que é \( x^2 \):

\[ \frac{3x^2 + 5x – 7}{x^2 – 2x + 4} = \frac{3 + \frac{5}{x} – \frac{7}{x^2}}{1 – \frac{2}{x} + \frac{4}{x^2}} \]

Agora aplicamos o limite:

\[ \lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{5}{x} – \frac{7}{x^2}}{1 – \frac{2}{x} + \frac{4}{x^2}} = \frac{3 + 0 – 0}{1 – 0 + 0} = \frac{3}{1} = 3 \]

Gabarito: Letra A

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2. Determine \( \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{4x^3 – x + 2}{2x^3 + 7x^2 – 3} \)

• (A) 2
• (B) 0
• (C) 1/2
• (D) 4
• (E) \( \infty \)

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Identificamos que o maior grau é \( x^3 \). Dividimos todos os termos por \( x^3 \):

\[ \frac{4x^3 – x + 2}{2x^3 + 7x^2 – 3} = \frac{4 – \frac{1}{x^2} + \frac{2}{x^3}}{2 + \frac{7}{x} – \frac{3}{x^3}} \]

Aplicando o limite:

\[ \frac{4 – 0 + 0}{2 + 0 – 0} = \frac{4}{2} = 2 \]

Gabarito: Letra A

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3. Calcule \( \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^4 + x^3 – 1}{5x^4 + 2x^2 + 9} \)

• (A) 1
• (B) 1/5
• (C) 0
• (D) 5
• (E) 4

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O maior expoente é \( x^4 \). Vamos dividir cada termo por \( x^4 \):

\[ \frac{x^4 + x^3 – 1}{5x^4 + 2x^2 + 9} = \frac{1 + \frac{1}{x} – \frac{1}{x^4}}{5 + \frac{2}{x^2} + \frac{9}{x^4}} \]

Aplicando o limite:

\[ \frac{1 + 0 – 0}{5 + 0 + 0} = \frac{1}{5} \]

Gabarito: Letra B

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4. Resolva \( \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{7x – 1}{2x + 3} \)

• (A) 3,5
• (B) 2
• (C) \( \infty \)
• (D) 7
• (E) 0

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O maior grau aqui é 1, pois os polinômios são de 1º grau. Dividimos tudo por \( x \):

\[ \frac{7 – \frac{1}{x}}{2 + \frac{3}{x}} \to \frac{7 – 0}{2 + 0} = \frac{7}{2} = 3{,}5 \]

Gabarito: Letra A

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5. Determine \( \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^5 + 1}{-2x^5 + 4x – 9} \)

• (A) -1/2
• (B) 1/2
• (C) -1
• (D) 1
• (E) \( \infty \)

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Maior expoente: \( x^5 \). Dividimos por ele:

\[ \frac{1 + \frac{1}{x^5}}{-2 + \frac{4}{x^4} – \frac{9}{x^5}} \to \frac{1 + 0}{-2 + 0 – 0} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2} \]

Gabarito: Letra A

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6. Resolva \( \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 + 3x + 1}{x^3 + 2} \)

• (A) 0
• (B) 1
• (C) \( \infty \)
• (D) 5
• (E) 2

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O grau mais alto está no denominador (\( x^3 \)). Ao dividir por \( x^3 \):

\[ \frac{\frac{5}{x} + \frac{3}{x^2} + \frac{1}{x^3}}{1 + \frac{2}{x^3}} \to \frac{0 + 0 + 0}{1 + 0} = 0 \]

Como o numerador tende a zero e o denominador tende a 1, o limite é:

Gabarito: Letra A

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Exercícios Resolvidos – Indeterminação do tipo \( \infty – \infty \)

A indeterminação \( \infty – \infty \) ocorre quando duas funções crescem sem limite, mas são subtraídas, e o resultado depende do quanto cada uma cresce. Abaixo, você encontra 6 exercícios com resoluções detalhadas.

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7. Calcule o limite: \( \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( x^2 – x \right) \)

• (A) 1
• (B) 0
• (C) \( \infty \)
• (D) -\( \infty \)
• (E) 2

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Temos a forma \( \infty – \infty \), pois \( x^2 \to \infty \) e \( x \to \infty \).

No entanto, \( x^2 \) cresce muito mais rápido do que \( x \), então o resultado também tende a \( \infty \).

Gabarito: Letra C

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8. Resolva \( \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + x} – x \right) \)

• (A) 0
• (B) 1
• (C) \( \infty \)
• (D) \( \frac{1}{2} \)
• (E) \( \frac{1}{2x} \)

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A substituição direta resulta em \( \infty – \infty \). Vamos multiplicar pelo conjugado:

\[ \left( \sqrt{x^2 + x} – x \right) \cdot \frac{\sqrt{x^2 + x} + x}{\sqrt{x^2 + x} + x} = \frac{x^2 + x – x^2}{\sqrt{x^2 + x} + x} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + x} + x} \]

Dividimos numerador e denominador por \( x \):

\[ \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1} \to \frac{1}{\sqrt{1} + 1} = \frac{1}{2} \]

Gabarito: Letra D

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Limites Indeterminados

9. Determine \( \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( x – \ln x \right) \)

• (A) 0
• (B) \( \infty \)
• (C) 1
• (D) -\( \infty \)
• (E) 2

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Ambas funções tendem a \( \infty \), mas o crescimento de \( x \) é muito mais rápido do que \( \ln x \).

Logo, \( x – \ln x \to \infty \)

Gabarito: Letra B

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10. Resolva \( \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \frac{1}{x} – \frac{1}{x + 1} \right) \)

• (A) 1
• (B) 0
• (C) \( \infty \)
• (D) -1
• (E) \( \frac{1}{x^2} \)

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Ambos os termos tendem a zero, e a subtração entre infinitésimos pode gerar confusão. Vamos simplificar:

\[ \frac{1}{x} – \frac{1}{x + 1} = \frac{(x + 1) – x}{x(x + 1)} = \frac{1}{x(x + 1)} \]

Quando \( x \to \infty \):

\[ \frac{1}{x(x + 1)} \to 0 \]

Gabarito: Letra B

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11. Calcule \( \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + 4x} – x \right) \)

• (A) 2
• (B) 0
• (C) \( \infty \)
• (D) 1
• (E) 4

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Forma indeterminada \( \infty – \infty \). Multiplicamos pelo conjugado:

\[ \left( \sqrt{x^2 + 4x} – x \right) \cdot \frac{\sqrt{x^2 + 4x} + x}{\sqrt{x^2 + 4x} + x} = \frac{(x^2 + 4x – x^2)}{\sqrt{x^2 + 4x} + x} = \frac{4x}{\sqrt{x^2 + 4x} + x} \]

Dividimos numerador e denominador por \( x \):

\[ \frac{4}{\sqrt{1 + \frac{4}{x}} + 1} \to \frac{4}{\sqrt{1} + 1} = \frac{4}{2} = 2 \]

Gabarito: Letra A

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12. Calcule o limite: \( \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + x + 1} – \sqrt{x^2 + 1} \right) \)

• (A) 1
• (B) 0
• (C) \( \frac{1}{2} \)
• (D) \( \infty \)
• (E) -1

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Forma \( \infty – \infty \). Multiplicamos pelo conjugado:

\[ \frac{\left( \sqrt{x^2 + x + 1} – \sqrt{x^2 + 1} \right)\left( \sqrt{x^2 + x + 1} + \sqrt{x^2 + 1} \right)}{\sqrt{x^2 + x + 1} + \sqrt{x^2 + 1}} = \frac{(x^2 + x + 1) – (x^2 + 1)}{\sqrt{x^2 + x + 1} + \sqrt{x^2 + 1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + x + 1} + \sqrt{x^2 + 1}} \]

Dividindo numerador e denominadores por \( x \):

\[ \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} + \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}} \to \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} \]

Gabarito: Letra C

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Exercícios sobre Indeterminações:

\( 0 \cdot \infty \),

\( 0^0 \)

\( \infty^0 \)

🔹 Indeterminação do tipo \( 0 \cdot \infty \)

13. Calcule o limite: \( \displaystyle \lim_{x \to 0^+} x \cdot \ln x \)

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Temos a forma \( 0 \cdot (-\infty) \), que é uma indeterminação.

Reescrevemos como quociente:

\[ x \cdot \ln x = \frac{\ln x}{1/x} \]

Agora aplicamos L’Hôpital:

\[ \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{1/x} \xrightarrow{L’H} \frac{1/x}{-1/x^2} = -x \to 0 \]

Gabarito: 0

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14. Calcule o limite: \( \displaystyle \lim_{x \to \infty} x \cdot e^{-x} \)

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Temos a forma \( \infty \cdot 0 \), que é uma indeterminação.

Reescrevemos como fração:

\[ x \cdot e^{-x} = \frac{x}{e^x} \]

Aplicamos L’Hôpital:

\[ \lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x} \xrightarrow{L’H} \frac{1}{e^x} \to 0 \]

Gabarito: 0

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🔹 Indeterminação do tipo \( 0^0 \)

15. Calcule o limite: \( \displaystyle \lim_{x \to 0^+} x^x \)

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Essa é uma forma do tipo \( 0^0 \), que é indeterminada.

Tomamos logaritmo natural:

\[ \ln y = \ln(x^x) = x \ln x \]

Sabemos que \( \lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0 \) (como visto antes), então:

\[ \ln y \to 0 \Rightarrow y = e^0 = 1 \]

Gabarito: 1

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16. Calcule o limite: \( \displaystyle \lim_{x \to 0^+} \left( \sin x \right)^{x} \)

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Forma \( 0^0 \). Tomamos logaritmo:

\[ \ln y = x \cdot \ln(\sin x) \]

Como \( \sin x \sim x \) quando \( x \to 0 \):

\[ \ln(\sin x) \sim \ln x \Rightarrow x \ln(\sin x) \sim x \ln x \to 0 \]

\( \ln y \to 0 \Rightarrow y = e^0 = 1 \)

Gabarito: 1

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🔹 Indeterminação do tipo \( \infty^0 \)

17. Calcule o limite: \( \displaystyle \lim_{x \to \infty} x^{1/x} \)

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Temos a forma \( \infty^0 \), que é indeterminada.

Tomamos logaritmo natural:

\[ \ln y = \frac{\ln x}{x} \]

\( \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = 0 \Rightarrow \ln y = 0 \Rightarrow y = 1 \)

Gabarito: 1

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18. Calcule o limite: \( \displaystyle \lim_{x \to 0^+} \left( \frac{1}{x} \right)^x \)

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Temos \( \infty^0 \). Tomamos logaritmo natural:

\[ \ln y = x \cdot \ln\left( \frac{1}{x} \right) = x \cdot (-\ln x) = -x \ln x \]

\( \lim_{x \to 0^+} -x \ln x = 0 \Rightarrow \ln y = 0 \Rightarrow y = 1 \)

Gabarito: 1

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Limites Indeterminados

Exercícios – Indeterminação do tipo \( \frac{0}{0} \)

A indeterminação do tipo \( \frac{0}{0} \) ocorre quando tanto o numerador quanto o denominador se anulam no ponto do limite. Veja abaixo 6 questões resolvidas.

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19. Calcule o limite: \( \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^2 – 4}{x – 2} \)

• (A) 0
• (B) 2
• (C) 4
• (D) 6
• (E) 8

[toggle title=’Ver Solução’ title_font_size=’20px’]

Numerador é uma diferença de quadrados:

\[ x^2 – 4 = (x – 2)(x + 2) \]

Cancelando o fator comum:

\[ \frac{(x – 2)(x + 2)}{x – 2} = x + 2 \]\[ \lim_{x \to 2} x + 2 = 4 \]

Gabarito: Letra C

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20. Calcule o limite: \( \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x^3 – 1}{x – 1} \)

• (A) 1
• (B) 2
• (C) 3
• (D) 4
• (E) 5

[toggle title=’Ver Solução’ title_font_size=’20px’]

Diferença de cubos:

\[ x^3 – 1 = (x – 1)(x^2 + x + 1) \]

Cancelamos:

\[ \frac{(x – 1)(x^2 + x + 1)}{x – 1} = x^2 + x + 1 \]\[ \lim_{x \to 1} x^2 + x + 1 = 1 + 1 + 1 = 3 \]

Gabarito: Letra C

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21. Calcule o limite: \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)

• (A) 0
• (B) 1
• (C) \( \infty \)
• (D) -1
• (E) 2

[toggle title=’Ver Solução’ title_font_size=’20px’]

Esse é um limite fundamental:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \]

Gabarito: Letra B

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22. Calcule o limite: \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1 – \cos x}{x^2} \)

• (A) 0
• (B) \( \frac{1}{2} \)
• (C) 1
• (D) 2
• (E) \( \infty \)

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Limite trigonométrico conhecido:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{1 – \cos x}{x^2} = \frac{1}{2} \]

Gabarito: Letra B

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23. Calcule o limite: \( \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x^2 – 1}{x – 1} \)

• (A) 0
• (B) 1
• (C) 2
• (D) 3
• (E) 4

[toggle title=’Ver Solução’ title_font_size=’20px’]

Fatorando o numerador:

\[ x^2 – 1 = (x – 1)(x + 1) \]

Cancelando \( x – 1 \):

\[ \lim_{x \to 1} x + 1 = 2 \]

Gabarito: Letra C

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24. Calcule o limite: \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} \)

• (A) 0
• (B) 1
• (C) -1
• (D) \( \infty \)
• (E) 2

[toggle title=’Ver Solução’ title_font_size=’20px’]

Esse é outro limite fundamental:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1 \]

Gabarito: Letra B

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