11 Questões Resolvidas de Matemática com Gráficos e Figuras – Passo a Passo Visual

Questão 1

Solução Passo a Passo:

Vamos chamar a altura do compartimento superior de \( x \). Segundo a figura, o compartimento do meio mede \( 3x \) e o inferior mede \( 2x \).

Somando todas as partes:

\[ x + 3x + 2x = 6x \]

Como a altura total do armário é 42 cm:

\[ 6x = 42 \] \[ x = 7 \]

Com isso, a altura do compartimento do meio é:

\[ 3x = 3 \cdot 7 = \boxed{21\,\text{cm}} \]

Resposta correta: letra d.

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Questão 2

Solução Passo a Passo:

Vamos usar a semelhança dos triângulos formados pela pessoa e pelo poste com suas respectivas sombras.

Altura da pessoa: \( h = 1{,}8 \, \text{m} \)
Sombra da pessoa: \( s = 0{,}6 \, \text{m} \)
Sombra do poste: \( S = 2{,}0 \, \text{m} \)

Vamos determinar a altura do poste \( H \), usando a proporção:

\[ \frac{H}{S} = \frac{h}{s} \] \[ \frac{H}{2{,}0} = \frac{1{,}8}{0{,}6} \] \[ \frac{H}{2{,}0} = 3 \Rightarrow H = 3 \cdot 2{,}0 = 6{,}0 \, \text{m} \]

Agora que sabemos que o poste tem 6,0 m de altura, vamos calcular o novo comprimento da sombra da pessoa quando a sombra do poste diminui 50 cm:

Nova sombra do poste: \( S’ = 2{,}0 – 0{,}5 = 1{,}5 \, \text{m} \)

Usamos novamente a razão da semelhança:

\[ \frac{H}{S’} = \frac{h}{s’} \] \[ \frac{6{,}0}{1{,}5} = \frac{1{,}8}{s’} \] \[ 4 = \frac{1{,}8}{s’} \Rightarrow s’ = \frac{1{,}8}{4} = 0{,}45 \, \text{m} = \boxed{45\,\text{cm}} \]

Resposta correta: letra b.

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Questão 3

Solução Passo a Passo:

A situação envolve proporcionalidade entre altura e sombra, já que Ana e o poste estão sob o mesmo sol.

Dados:

Altura de Ana: \( 1{,}5 \, \text{m} \)
Sombra de Ana: \( 2{,}4 \, \text{m} \)
Sombra do poste: \( 3{,}7 \, \text{m} \)

Sejam:

\[ h_{\text{Ana}} = 1{,}5,\quad s_{\text{Ana}} = 2{,}4,\quad s_{\text{Poste}} = 3{,}7,\quad h_{\text{Poste}} = x \]

Estabelecendo a proporção:

\[ \frac{1{,}5}{2{,}4} = \frac{x}{3{,}7} \]

Multiplicando cruzado:

\[ 1{,}5 \cdot 3{,}7 = 2{,}4 \cdot x \] \[ 5{,}55 = 2{,}4x \] \[ x = \frac{5{,}55}{2{,}4} = \boxed{2{,}3125 \approx 2{,}3 \, \text{m}} \]

Resposta correta: letra b.

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Questão 4

Solução Passo a Passo:

Primeiro, determinamos o valor de \( AB \):

Sabendo que \( MB = 10 \) (pois \( MN = 16 \) e \( BN = 6 \)), e usando a proporcionalidade:

\[ \frac{AB}{MB} = \frac{BC}{BN} \] \[ \frac{AB}{10} = \frac{9}{6} \] \[ AB = 10 \cdot \frac{9}{6} = 15 \]

Agora, para calcular \( GH \), usamos os segmentos \( DE = 4 \), \( DI = 2 \), \( BC = 9 \), \( CD = 10 \), e \( HD = 5 \):

Sabendo que \( BD = 19 \) (pois \( BC = 9 \), \( CD = 10 \)), podemos usar a relação:

\[ \frac{DE}{DI} = \frac{BD}{GD} \] \[ \frac{4}{2} = \frac{19}{m + 5} \] \[ 2 = \frac{19}{m + 5} \] \[ 2(m + 5) = 19 \Rightarrow m = 4{,}5 \]

Agora usamos outra relação para determinar \( FG \):

\[ \frac{AB}{FG} = \frac{BC}{GH} \] \[ \frac{15}{FG} = \frac{9}{4{,}5} \Rightarrow \frac{15}{FG} = 2 \Rightarrow FG = \frac{15}{2} = 7{,}5 \]

Com \( FG = 7{,}5 \) e \( GH = 4{,}5 \), temos:

\[ FH = 7{,}5 + 4{,}5 = 12 \]

Por fim:

\[ AB + FH = 15 + 12 = \boxed{27} \]

Como \( 27 \div 3 = 9 \), temos um número divisível por 3.

Resposta correta: letra a.

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Questão 5

Solução Passo a Passo:

O enunciado nos informa que os triângulos e trapézios são semelhantes, então podemos aplicar o Teorema de Tales para obter os valores de \( A’B’ \) e \( C’D’ \).

Sabemos que:

\[ \frac{AD}{A’D’} = \frac{AB}{A’B’} \Rightarrow \frac{90}{135} = \frac{40}{A’B’} \]

Multiplicando cruzado:

\[ 90 \cdot A’B’ = 135 \cdot 40 \] \[ A’B’ = \frac{135 \cdot 40}{90} = \frac{5400}{90} = 60 \]

Agora aplicamos o mesmo raciocínio para \( C’D’ \):

\[ \frac{AD}{A’D’} = \frac{CD}{C’D’} \Rightarrow \frac{90}{135} = \frac{20}{C’D’} \] \[ C’D’ = \frac{135 \cdot 20}{90} = \frac{2700}{90} = 30 \]

Portanto:

\[ A’B’ – C’D’ = 60 – 30 = \boxed{30 \, \text{m}} \]

Resposta correta: letra b.

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Questão 6

Solução Passo a Passo:

Vamos usar o triângulo \( BPC \), que é retângulo, para aplicar o Teorema de Pitágoras e descobrir o valor de \( BC \):

\[ BC^2 = BP^2 + CP^2 \] \[ BC^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169 \Rightarrow BC = \sqrt{169} = 13 \]

Agora, observamos os triângulos \( BOQ \) e \( BPC \), que são semelhantes (caso AA – dois ângulos iguais).

Usando a razão entre os lados correspondentes, temos:

\[ \frac{R}{5} = \frac{12 – R}{13} \]

Multiplicando cruzado:

\[ 13R = 5(12 – R) \Rightarrow 13R = 60 – 5R \Rightarrow 18R = 60 \Rightarrow R = \frac{60}{18} = \boxed{\frac{10}{3} \, \text{cm}} \]

Resposta correta: letra d.

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Questão 7

Solução Passo a Passo:

Vamos usar semelhança de triângulos.

Queremos que os triângulos \( \triangle ACE \) e \( \triangle BDE \) sejam semelhantes, ou seja:

\[ \angle CEA \cong \angle DEB \quad \text{e} \quad \angle C \cong \angle D \ (\text{ambos retos}) \]

Então podemos escrever a proporção:

\[ \frac{ED}{CE} = \frac{4}{2} = 2 \]

Sabemos que \( CD = 9 \), então:

\[ ED = 9 – CE \Rightarrow \frac{9 – CE}{CE} = 2 \]

Multiplicando cruzado:

\[ 9 – CE = 2 \cdot CE \Rightarrow 9 = 3 \cdot CE \Rightarrow CE = \boxed{3} \]

Resposta correta: letra a.

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Questão 8

Solução Passo a Passo:

O robô andou 30 cm em linha reta, virou 90° e andou mais 40 cm, formando dois lados de um triângulo.

Como o ângulo entre os segmentos é de 90°, o triângulo formado é retângulo.

Para retornar ao ponto inicial, o robô percorre a hipotenusa do triângulo.

Utilizando o Teorema de Pitágoras:

\[ x^2 = 30^2 + 40^2 \] \[ x^2 = 900 + 1600 = 2500 \] \[ x = \sqrt{2500} = \boxed{50 \, \text{cm}} \]

Resposta correta: letra a.

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Questão 9

Solução Passo a Passo:

Sabemos que \( AD = 2 \), e como \( P \) está a \( x \) unidades de \( N \), a distância de \( P \) até \( M \) será:

\[ PM = 2 – x \]

Pelo desenho, temos também \( CP = PD \). Podemos calcular a medida de \( CP \) (ou \( PD \)) usando o Teorema de Pitágoras:

\[ CP^2 = x^2 + 2^2 = x^2 + 4 \Rightarrow CP = \sqrt{x^2 + 4} \]

Assim, a função que representa a soma dos três segmentos é:

\[ S(x) = PM + PD + PC \] \[ S(x) = (2 – x) + \sqrt{x^2 + 4} + \sqrt{x^2 + 4} \] \[ S(x) = (2 – x) + 2\sqrt{x^2 + 4} \]

Resposta correta: letra e.

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Questão 10

Solução Passo a Passo:

A altura da parede é \( AC = 2{,}9 \, \text{m} \) e a parte abaixo do beiral mede \( AB = 1{,}3 \, \text{m} \). Assim, o segmento \( BC \), que representa a altura entre o beiral e a extremidade da sombra da parede, é:

\[ BC = AC – AB = 2{,}9 – 1{,}3 = 1{,}6 \, \text{m} \]

Sabemos que \( r_1 \parallel r_2 \), então, pelo Teorema de Tales, podemos escrever a seguinte proporção entre os segmentos semelhantes:

\[ \frac{8}{3} = \frac{BC}{CD} \Rightarrow \frac{8}{3} = \frac{1{,}6}{CD} \]

Multiplicando cruzado:

\[ 8 \cdot CD = 1{,}6 \cdot 3 \Rightarrow 8 \cdot CD = 4{,}8 \Rightarrow CD = \frac{4{,}8}{8} = \boxed{0{,}6 \, \text{m}} \]

Resposta correta: letra a.

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Questão 11

Solução Passo a Passo:

Sabemos que:

\[ CE = \frac{3}{4} \cdot BC \quad \text{e} \quad AF = \frac{2}{3} \cdot AD \]

Como \( AD = BC \) (lados opostos de um paralelogramo), podemos reescrever:

\[ AF = \frac{2}{3} \cdot BC \]

Agora analisamos os triângulos \( GCE \) e \( GAF \). Ambos têm dois ângulos iguais (ângulo \( \widehat{A} \cong \widehat{C} \) e o ângulo comum \( \widehat{G} \)), então são semelhantes (caso AA).

A razão entre os lados correspondentes é:

\[ \frac{CE}{AF} = \frac{\frac{3}{4}BC}{\frac{2}{3}BC} = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{8} \]

A razão entre as áreas dos triângulos semelhantes é o quadrado da razão dos lados:

\[ \left(\frac{9}{8}\right)^2 = \frac{81}{64} \approx 1{,}265625 \]

Isso representa um acréscimo de:

\[ 1{,}265625 – 1 = 0{,}265625 \approx \boxed{27\%} \]

Resposta correta: letra a.

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