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Questão de Analise Combinatória – Permutação e Arranjo
Consideremos m elementos distintos. Destaquemos k dentre eles. Quantos arranjos simples daqueles m elementos, tomados n a n (Am, n), podemos formar, de modo que em cada arranjo haja sempre, contíguos e em qualquer ordem de colocação, r (r < n) dos k elementos destacados?
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1 – Análise Combinatória – Arranjo com Restrição
Neste problema, buscamos determinar quantos arranjos simples Am,n podem ser formados com m elementos, tomados n a n, de modo que cada arranjo inclua r elementos destacados (r < n) que devem ser contíguos, mas organizados em qualquer ordem.
2 – Entendendo o enunciado
- Devemos formar arranjos de n elementos nos quais:
- r elementos pertencem ao grupo destacado de k elementos.
- Esses r elementos devem estar contíguos (que está adjacente ou próximo; vizinho) no arranjo.
- Os n – r elementos restantes são escolhidos entre os m – k elementos remanescentes.
- A solução é dividida em etapas:
- Escolher e organizar os r elementos destacados (Ak,r).
- Escolher e organizar os n – r elementos remanescentes (Am−k,n−r).
- Posicionar o bloco dos r elementos destacados em n – r + 1 posições possíveis.
3 – Cálculo
Escolha e organização dos r elementos destacados:
Escolhemos e organizamos r elementos dos k destacados:
Escolha e organização dos n – r elementos restantes:
Escolhemos e organizamos n – r elementos entre os m – k remanescentes:
Posicionamento do bloco dos r elementos destacados:
O bloco dos r elementos destacados pode ser colocado em n – r + 1 posições distintas no arranjo total.
Combinação total:
Multiplicamos as três etapas:
Total = (n−r+1)⋅Ak,r⋅Am−k,n−r
4 – Resposta
O número total de arranjos simples que podem ser formados é:
Total = (n−r+1)⋅Ak,r⋅Am−k,n−r
Onde:
- (n – r + 1): posições possíveis para o bloco dos r destacados,
- Ak,r: arranjos dos r elementos destacados,
- Am−k,n−rA_{m – k, n – r}: arranjos dos n – r elementos remanescentes.
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