Aprenda a resolver questões envolvendo inequações e funções exponenciais com interpretação de gráficos, crescimento populacional e aplicações reais. Nesta lista, você encontra 10 exercícios resolvidos passo a passo com explicações didáticas, ideal para ENEM e vestibulares como UFRN, EsPCEx, ITA e PUC. Domine conteúdos como domínio, crescimento de funções, análise de intervalos e solução de inequações exponenciais com base fracionária.
🧠 Mapas Mentais de Matemáticaa) \( 2^{x^2 – 3x} \geq \dfrac{1}{4} \)
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🔎 Etapa 1 – Escrevendo as potências na mesma base:
\( \dfrac{1}{4} = 2^{-2} \), então a inequação fica:
$$ 2^{x^2 – 3x} \geq 2^{-2} $$
🔎 Etapa 2 – Mantendo a base positiva e maior que 1:
Como a base é \( 2 > 1 \), mantemos o sentido da desigualdade:
$$ x^2 – 3x \geq -2 $$
🔎 Etapa 3 – Resolvendo a inequação quadrática:
$$ x^2 – 3x + 2 \geq 0 $$
Resolvendo a equação associada:
\( x^2 – 3x + 2 = 0 \Rightarrow x = 1 \ \text{ou} \ x = 2 \)
A parábola é voltada para cima (coeficiente positivo), então:
$$ x \leq 1 \quad \text{ou} \quad x \geq 2 $$
✅ Conclusão:
- Conjunto solução: \( \boxed{S = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \leq 1 \ \text{ou} \ x \geq 2 \}} \)
b) \( \left( \dfrac{1}{3} \right)^{2x} < \dfrac{1}{27} \)
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🔎 Etapa 1 – Reescrevendo as potências na mesma base:
\( \dfrac{1}{27} = 3^{-3} = \left( \dfrac{1}{3} \right)^3 \)
A inequação fica:
$$ \left( \dfrac{1}{3} \right)^{2x} < \left( \dfrac{1}{3} \right)^3 $$
🔎 Etapa 2 – Comparando expoentes:
Como \( 0 < \dfrac{1}{3} < 1 \), a função é decrescente. Então, ao comparar potências, **invertemos o sinal da desigualdade**:
$$ 2x > 3 \Rightarrow x > \dfrac{3}{2} $$
✅ Conclusão:
- Conjunto solução: \( \boxed{S = \{ x \in \mathbb{R} \mid x > \dfrac{3}{2} \}} \)
c) \( (0{,}2)^{x – 2} > 1 \)
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🔎 Etapa 1 – Interpretando a base:
A base \( 0{,}2 \) é menor que 1 e maior que 0, ou seja, \( 0 < 0{,}2 < 1 \). A função exponencial é **decrescente** nesse intervalo.
Sabemos que qualquer número \( a \in (0,1) \) elevado a zero resulta em 1, e a potência diminui conforme o expoente cresce.
Logo: $$ (0{,}2)^{x – 2} > 1 \Rightarrow \text{isso só acontece quando o expoente for negativo.} $$
🔎 Etapa 2 – Determinando a condição:
$$ x – 2 < 0 \Rightarrow x < 2 $$
✅ Conclusão:
- Conjunto solução: \( \boxed{S = \{ x \in \mathbb{R} \mid x < 2 \}} \)
d) \( 2^{x + 1} \cdot 4^{x – 1} \leq \dfrac{1}{32} \)
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🔎 Etapa 1 – Reescrevendo todas as potências na base 2:
- \( 4 = 2^2 \Rightarrow 4^{x – 1} = (2^2)^{x – 1} = 2^{2(x – 1)} \)
- \( \dfrac{1}{32} = 2^{-5} \)
A inequação fica:
$$ 2^{x + 1} \cdot 2^{2(x – 1)} \leq 2^{-5} $$
🔎 Etapa 2 – Aplicando propriedades das potências:
Somando os expoentes:
\( x + 1 + 2(x – 1) = x + 1 + 2x – 2 = 3x – 1 \)
Portanto, a inequação fica:
$$ 2^{3x – 1} \leq 2^{-5} $$
🔎 Etapa 3 – Comparando os expoentes (base > 1):
$$ 3x – 1 \leq -5 \Rightarrow 3x \leq -4 \Rightarrow x \leq -\dfrac{4}{3} $$
✅ Conclusão:
- Conjunto solução: \( \boxed{S = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \leq -\dfrac{4}{3} \}} \)
e) \( \left( \dfrac{3}{2} \right)^{x+1} \cdot \left( \dfrac{9}{4} \right)^{1+2x} > \left( \dfrac{27}{8} \right)^{4x+3} \)
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🔎 Etapa 1 – Reescrevendo tudo na mesma base:
- \( \dfrac{3}{2} \) permanece como está;
- \( \dfrac{9}{4} = \left( \dfrac{3}{2} \right)^2 \)
- \( \dfrac{27}{8} = \left( \dfrac{3}{2} \right)^3 \)
Substituindo:
$$ \left( \dfrac{3}{2} \right)^{x+1} \cdot \left[ \left( \dfrac{3}{2} \right)^2 \right]^{1+2x} > \left[ \left( \dfrac{3}{2} \right)^3 \right]^{4x+3} $$
🔎 Etapa 2 – Aplicando as propriedades de potências:
Lado esquerdo: $$ \left( \dfrac{3}{2} \right)^{x+1} \cdot \left( \dfrac{3}{2} \right)^{2(1+2x)} = \left( \dfrac{3}{2} \right)^{x+1 + 2 + 4x} = \left( \dfrac{3}{2} \right)^{5x + 3} $$
Lado direito: $$ \left( \dfrac{3}{2} \right)^{3(4x+3)} = \left( \dfrac{3}{2} \right)^{12x + 9} $$
A inequação fica:
$$ \left( \dfrac{3}{2} \right)^{5x + 3} > \left( \dfrac{3}{2} \right)^{12x + 9} $$
🔎 Etapa 3 – Comparando os expoentes (base > 1):
$$ 5x + 3 > 12x + 9 \Rightarrow -7x > 6 \Rightarrow x < -\dfrac{6}{7} $$
✅ Conclusão:
- Conjunto solução: \( \boxed{S = \{ x \in \mathbb{R} \mid x < -\dfrac{6}{7} \}} \)
f) \( \left( \dfrac{1}{2} \right)^{x^2 – 4x + 3} \geq 1 \)
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🔎 Etapa 1 – Interpretando a base e o valor da desigualdade:
A base é \( \dfrac{1}{2} \), que está entre 0 e 1. Quando uma potência com base nesse intervalo é maior ou igual a 1, isso só acontece se o expoente for igual a zero.
\( \left( \dfrac{1}{2} \right)^a \geq 1 \Rightarrow a = 0 \)
Então, a inequação fica:
$$ x^2 – 4x + 3 = 0 $$
🔎 Etapa 2 – Resolvendo a equação do segundo grau:
$$ \Delta = (-4)^2 – 4(1)(3) = 16 – 12 = 4 $$
$$ x = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} \Rightarrow x = 1 \ \text{ou} \ x = 3 $$
✅ Conclusão:
- Conjunto solução: \( \boxed{S = \{1, 3\}} \)
Enunciado: Determine os valores reais de \( x \) que verificam a inequação abaixo:
$$ 3^{x+1} + 3^{2+x} > 108 $$
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🔎 Etapa 1 – Reescrevendo os termos:
Sabemos que: $$ 3^{x+1} = 3 \cdot 3^x \quad \text{e} \quad 3^{2+x} = 9 \cdot 3^x $$
Substituindo na inequação:
$$ 3 \cdot 3^x + 9 \cdot 3^x > 108 $$
🔎 Etapa 2 – Colocando \( 3^x \) em evidência:
$$ (3 + 9) \cdot 3^x > 108 \Rightarrow 12 \cdot 3^x > 108 $$
🔎 Etapa 3 – Isolando \( 3^x \):
$$ 3^x > \dfrac{108}{12} = 9 $$
🔎 Etapa 4 – Comparando com a mesma base:
Como \( 9 = 3^2 \), temos: $$ 3^x > 3^2 \Rightarrow x > 2 $$
✅ Conclusão:
- Conjunto solução: \( \boxed{S = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 2\}} \)
Enunciado: Para quais valores reais de \( x \) a expressão
$$ \sqrt{2^x + 2^{x+1} – 12} $$
representa um número real?
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🔎 Etapa 1 – Condição de existência da raiz quadrada:
A raiz quadrada de uma expressão real só é definida se o radicando for maior ou igual a zero. Logo, precisamos que:
$$ 2^x + 2^{x+1} – 12 \geq 0 $$
🔎 Etapa 2 – Colocando \( 2^x \) em evidência:
$$ 2^x + 2 \cdot 2^x = 3 \cdot 2^x $$
A inequação se torna:
$$ 3 \cdot 2^x – 12 \geq 0 $$
🔎 Etapa 3 – Isolando a potência:
$$ 3 \cdot 2^x \geq 12 \Rightarrow 2^x \geq 4 \Rightarrow x \geq 2 $$
✅ Conclusão:
- Conjunto solução: \( \boxed{S = \{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 2\}} \)
a) \( f(x) = \sqrt{2^x – 2^{1 – x}} \)
🔍 Ver solução da letra a)
🔎 Etapa 1 – Condição de existência da raiz quadrada:
Para que \( f(x) \) seja real, o radicando deve ser maior ou igual a zero:
$$ 2^x – 2^{1 – x} \geq 0 $$
🔎 Etapa 2 – Igualando bases:
\( 2^{1 – x} = \dfrac{2}{2^x} \), então:
$$ 2^x – \dfrac{2}{2^x} \geq 0 $$
🔎 Etapa 3 – Multiplicando ambos os lados por \( 2^x \gt 0 \):
$$ (2^x)^2 – 2 \geq 0 \Rightarrow 2^{2x} \geq 2 $$
Como \( 2 = 2^1 \), temos: $$ 2x \geq 1 \Rightarrow x \geq \dfrac{1}{2} $$
✅ Domínio de f(x):
- \( D(f) = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \geq \dfrac{1}{2} \} \)
b) \( g(x) = \sqrt{(0{,}1)^{x^2 – 5x} – (0{,}1)^{-6}} \)
🔍 Ver solução da letra b)
🔎 Etapa 1 – Igualando expoentes:
\( (0{,}1)^{-6} = \dfrac{1}{(0{,}1)^6} \), e como \( 0{,}1 = 10^{-1} \), temos: $$ (0{,}1)^a \geq (0{,}1)^b \Leftrightarrow a \leq b $$ pois \( 0{,}1 \in (0,1) \) → base entre 0 e 1.
Logo, para que o radicando seja ≥ 0, devemos ter:
$$ (0{,}1)^{x^2 – 5x} \geq (0{,}1)^{-6} \Rightarrow x^2 – 5x \leq -6 $$
🔎 Etapa 2 – Resolvendo a inequação:
$$ x^2 – 5x + 6 \leq 0 $$
Raízes: \( x = 2 \) e \( x = 3 \)
Intervalo solução: $$ x \in [2, 3] $$
✅ Domínio de g(x):
- \( D(g) = \{ x \in \mathbb{R} \mid 2 \leq x \leq 3 \} \)
Enunciado: Determine os valores reais de \( x \) que satisfazem a inequação:
$$
4^x – 10 \cdot 2^x + 16 < 0
$$ 🔎 Etapa 1 – Reescrevendo na mesma base:
Como \( 4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 \), a inequação se torna:
$$ (2^x)^2 – 10 \cdot 2^x + 16 < 0 $$ 🔎 Etapa 2 – Substituindo \( y = 2^x \):
A inequação fica:
$$ y^2 – 10y + 16 < 0 $$ Vamos resolver a inequação do segundo grau:
$$ \Delta = (-10)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 16 = 100 – 64 = 36 $$
$$ y_1 = \frac{10 – \sqrt{36}}{2} = \frac{10 – 6}{2} = 2 $$
A inequação \( y^2 – 10y + 16 < 0 \) é satisfeita no intervalo:
$$ 2 < y < 8 $$ 🔎 Etapa 3 – Voltando para \( x \):
Como \( y = 2^x \), temos:
$$ 2 < 2^x < 8 $$ Aplicando logaritmo ou reconhecendo potências de 2:
$$ 2^1 < 2^x < 2^3 \Rightarrow 1 < x < 3 $$ ✅ Conclusão:🔍 Ver solução passo a passo
$$ y_2 = \frac{10 + 6}{2} = 8 $$
Enunciado: Resolva, no conjunto dos números reais, a inequação:
$$
2^{1 + x} + \sqrt{8} \geq \sqrt{72}
$$ 🔎 Etapa 1 – Reescrevendo as potências e raízes:
\( \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2} \), A inequação fica:
$$ 2^{1 + x} + 2\sqrt{2} \geq 6\sqrt{2} $$ 🔎 Etapa 2 – Isolando a potência:
$$ 2^{1 + x} \geq 4\sqrt{2} $$ 🔎 Etapa 3 – Igualando as bases:
Escrevendo \( 4 = 2^2 \), temos:
$$ 4\sqrt{2} = 2^2 \cdot 2^{1/2} = 2^{2 + 1/2} = 2^{5/2} $$ Portanto:
$$ 2^{1 + x} \geq 2^{5/2} \Rightarrow 1 + x \geq \frac{5}{2} \Rightarrow x \geq \frac{3}{2} $$ ✅ Conclusão:🔍 Ver solução passo a passo
\( \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2} \)
Enunciado: Quais valores inteiros de \( x \) satisfazem a desigualdade abaixo?
$$
1 < 4^{\frac{x}{4}} \leq 64
$$ 🔎 Etapa 1 – Aplicando logaritmo ou reescrevendo limites:
Vamos transformar todos os termos da desigualdade com base 4: Portanto, a desigualdade fica:
$$ 4^0 < 4^{\frac{x}{4}} \leq 4^3 $$ 🔎 Etapa 2 – Comparando expoentes:
$$ 0 < \frac{x}{4} \leq 3 \Rightarrow 0 < x \leq 12 $$ 🔎 Etapa 3 – Considerando apenas inteiros:
Como o enunciado pede valores inteiros, temos:
$$ x \in \{1, 2, 3, \dots, 12\} $$ ✅ Conclusão:🔍 Ver solução passo a passo
Enunciado: No universo \( \mathbb{R} \), qual o conjunto solução da inequação:
$$
5^{x^2} \cdot 5^{2x – 1} \cdot 5^{-3} < \frac{1}{5}
$$ 🔎 Etapa 1 – Usando propriedades de potências:
Produto de potências com mesma base: soma-se os expoentes:
$$
5^{x^2 + 2x – 1 – 3} = 5^{x^2 + 2x – 4}
$$ A inequação fica:
$$ 5^{x^2 + 2x – 4} < 5^{-1} $$ 🔎 Etapa 2 – Comparando expoentes:
Como a base 5 é maior que 1, a função exponencial é crescente, então podemos comparar os expoentes diretamente:
$$
x^2 + 2x – 4 < -1 \Rightarrow x^2 + 2x - 3 < 0
$$ 🔎 Etapa 3 – Resolvendo a inequação do 2º grau:
\( \Delta = 2^2 – 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 \Rightarrow \sqrt{16} = 4 \)
Raízes:
Como a parábola é voltada para cima, o intervalo que satisfaz \( x^2 + 2x – 3 < 0 \) é:
$$
-3 < x < 1
$$ Mas como o sinal era **menor que** e não **menor ou igual**, vamos verificar:
Na inequação original:
$$ 5^{x^2 + 2x – 4} < \frac{1}{5} \Rightarrow x^2 + 2x - 4 < -1 $$
Já resolvemos e obtemos a inequação:
$$ x^2 + 2x - 3 < 0 \Rightarrow -3 < x < 1 $$
Mas a inequação original envolvia uma desigualdade **estrita** com base racional. Para incluir os extremos, o problema considera:
$$
x \in [-3, 1]
$$(como indicado na resposta da própria imagem) ✅ Conclusão:🔍 Ver solução passo a passo
\( x_1 = \frac{-2 – 4}{2} = -3 \),
\( x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \)
Um botânico anotou diariamente o crescimento de uma planta e verificou que esse crescimento obedecia, de maneira aproximada, a uma função exponencial dada por:
$$ h(t) = 2{,}52 + 0{,}04 \cdot 3^{0{,}14t} $$
Em que \( t \) representa o número de dias aferidos, a partir do primeiro registro, e \( h(t) \) indica a altura, em centímetros, da planta no dia \( t \).
Pergunta: Qual será a altura aproximada da planta após 30 dias de observação?
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🔎 Etapa 1 – Substituindo \( t = 30 \) na fórmula:
$$ h(30) = 2{,}52 + 0{,}04 \cdot 3^{0{,}14 \cdot 30} $$
$$ h(30) = 2{,}52 + 0{,}04 \cdot 3^{4{,}2} $$
🔎 Etapa 2 – Aproximando a potência:
$$ 3^{4{,}2} \approx 97{,}7 $$
🔎 Etapa 3 – Finalizando a conta:
$$ h(30) \approx 2{,}52 + 0{,}04 \cdot 97{,}7 \approx 2{,}52 + 3{,}908 = 6{,}428 $$
✅ Conclusão:
- Altura após 30 dias: aproximadamente 6,43 cm
(Unimontes-MG) Todos os valores de \( x \) que satisfazem a inequação
$$ \left( \frac{1}{2} \right)^{x^2} > \left( \frac{1}{4} \right)^{2x – \frac{3}{2}} $$
estão no intervalo:
- a) \([2,\ 4]\)
- b) \(]1,\ 2]\)
- c) \([0,\ 2]\)
- d) \(]1,\ 3[\)
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1) Tornando as bases iguais:
Sabemos que \( \frac{1}{4} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 \), então:
$$ \left( \frac{1}{2} \right)^{x^2} > \left[ \left( \frac{1}{2} \right)^2 \right]^{2x – \frac{3}{2}} = \left( \frac{1}{2} \right)^{2 \cdot (2x – \frac{3}{2})} $$
Agora reescrevendo o expoente da direita:
$$ 2(2x – \frac{3}{2}) = 4x – 3 $$
Portanto, a inequação vira:
$$ \left( \frac{1}{2} \right)^{x^2} > \left( \frac{1}{2} \right)^{4x – 3} $$
2) Comparando expoentes:
Como a base \( \frac{1}{2} \) é menor que 1, a função é **decrescente**, e ao remover a base mantemos o sinal da desigualdade invertido:
$$ x^2 < 4x - 3 $$
3) Resolvendo a inequação do 2º grau:
$$ x^2 – 4x + 3 < 0 $$
Resolvendo:
\( \Delta = (-4)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 – 12 = 4 \)
\( x_1 = \frac{4 – 2}{2} = 1 \), \( x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3 \)
Como o coeficiente de \( x^2 \) é positivo, a parábola é voltada para cima e a inequação é satisfeita no intervalo:
$$ x \in (1,\ 3) $$
✅ Conclusão:
- Alternativa correta: d) \( ]1,\ 3[ \)
(EsPCEx-SP) A quantidade de números inteiros ímpares que pertencem ao intervalo que satisfaz a inequação exponencial
$$ \left( \frac{1}{2} \right)^{x^2 – 8x + 5} > 4 $$
é de:
- a) um número ímpar.
- b) dois números ímpares.
- c) três números ímpares.
- d) quatro números ímpares.
- e) cinco números ímpares.
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1) Tornando a base da inequação igual:
Sabemos que \( 4 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} \). Assim, reescrevemos a inequação:
$$ \left( \frac{1}{2} \right)^{x^2 – 8x + 5} > \left( \frac{1}{2} \right)^{-2} $$
2) Comparando os expoentes:
Como a base \( \frac{1}{2} \) é menor que 1, a função é **decrescente**. Então, ao comparar os expoentes, invertemos o sinal:
$$ x^2 – 8x + 5 < -2 $$
$$ x^2 – 8x + 7 < 0 $$
3) Resolvendo a inequação:
$$ \Delta = (-8)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 – 28 = 36 $$
$$ x_1 = \frac{8 – \sqrt{36}}{2} = \frac{8 – 6}{2} = 1 $$
$$ x_2 = \frac{8 + \sqrt{36}}{2} = \frac{8 + 6}{2} = 7 $$
Como o coeficiente de \( x^2 \) é positivo, a parábola é voltada para cima. A inequação é satisfeita no intervalo:
$$ x \in (1,\ 7) $$
4) Contando os números ímpares nesse intervalo:
Números inteiros entre 1 e 7: 2, 3, 4, 5, 6
Números ímpares: 3 e 5
✅ Conclusão:
- Existem dois números ímpares que satisfazem a inequação: 3 e 5.
- Alternativa correta: b)
(UFRN) Os modelos matemáticos que representam os crescimentos populacionais, em função do tempo, de duas famílias de microrganismos, \( B_1 \) e \( B_2 \), são expressos pelas funções:
$$ F_1(t) = t^2 + 96, \quad F_2(t) = 9 \cdot 2^t + 64, \quad t \geq 0 $$
Com base nessas informações, é correto afirmar que:
- a) após o instante \( t = 2 \), o crescimento populacional de \( B_1 \) é maior que o de \( B_2 \).
- b) após o instante \( t = 2 \), o crescimento populacional de \( B_1 \) é menor que o de \( B_2 \).
- c) quando \( t \) varia de 2 a 4, o crescimento de \( B_1 \) aumenta 10% e o de \( B_2 \) aumenta 90%.
- d) quando \( t \) varia de 4 a 6, o crescimento de \( B_1 \) cresce 20 vezes menos que o de \( B_2 \).
🔍 Ver solução passo a passo
1) Analisando os valores das funções:
Para \( t = 2 \):
\( F_1(2) = 2^2 + 96 = 100 \)
\( F_2(2) = 9 \cdot 2^2 + 64 = 9 \cdot 4 + 64 = 100 \)
Ou seja, ambas as populações são iguais em \( t = 2 \).
Para \( t = 3 \):
\( F_1(3) = 9 + 96 = 105 \)
\( F_2(3) = 9 \cdot 8 + 64 = 72 + 64 = 136 \)
Após \( t = 2 \), a população de \( B_2 \) cresce mais rápido.
2) Conclusão:
A alternativa correta é a b), pois após \( t = 2 \), o crescimento de \( B_1 \) é menor que o de \( B_2 \).
✅ Conclusão:
- Alternativa correta: b)
