ITA 2023 — 2ª Fase — Questão 02 — Álgebra Linear
Considere as seguintes matrizes:
\[
A=\begin{bmatrix}1&-2\\-2&1\end{bmatrix},\quad
B=\begin{bmatrix}0&6\\6&0\end{bmatrix},\quad
C=\begin{bmatrix}3&3\\3&3\end{bmatrix}.
\]
Determine os números \(a\in\mathbb{R}\) tais que a matriz
\[
M=a^{2}A+aB+C
\]
seja invertível.
👀 Solução passo a passo
1) Montando \(M\):
\[ M=a^{2}\!\begin{bmatrix}1&-2\\-2&1\end{bmatrix} +a\!\begin{bmatrix}0&6\\6&0\end{bmatrix} +\begin{bmatrix}3&3\\3&3\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} a^{2}+3 & -2a^{2}+6a+3\\ -2a^{2}+6a+3 & a^{2}+3 \end{bmatrix}. \]2) Condição de invertibilidade: \(M\) é invertível \(\Leftrightarrow \det M\neq0\). Como a matriz é do tipo \(\begin{bmatrix}p&q\\q&p\end{bmatrix}\), \[ \det M=(a^{2}+3)^{2}-(-2a^{2}+6a+3)^{2} =(p-q)(p+q). \] Logo, \[ \begin{aligned} p-q &= a^{2}+3 -(-2a^{2}+6a+3)=3a^{2}-6a=3a(a-2),\\ p+q &= a^{2}+3 +(-2a^{2}+6a+3)= -a^{2}+6a+6. \end{aligned} \] Assim, \[ \det M=0 \ \Longleftrightarrow\ 3a(a-2)=0\ \text{ ou }\ a^{2}-6a-6=0. \]3) Excluindo os valores que anulam o determinante:
\[ a\neq 0,\quad a\neq 2,\quad a\neq 3\pm\sqrt{15}. \]
\[ M=a^{2}\!\begin{bmatrix}1&-2\\-2&1\end{bmatrix} +a\!\begin{bmatrix}0&6\\6&0\end{bmatrix} +\begin{bmatrix}3&3\\3&3\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} a^{2}+3 & -2a^{2}+6a+3\\ -2a^{2}+6a+3 & a^{2}+3 \end{bmatrix}. \]2) Condição de invertibilidade: \(M\) é invertível \(\Leftrightarrow \det M\neq0\). Como a matriz é do tipo \(\begin{bmatrix}p&q\\q&p\end{bmatrix}\), \[ \det M=(a^{2}+3)^{2}-(-2a^{2}+6a+3)^{2} =(p-q)(p+q). \] Logo, \[ \begin{aligned} p-q &= a^{2}+3 -(-2a^{2}+6a+3)=3a^{2}-6a=3a(a-2),\\ p+q &= a^{2}+3 +(-2a^{2}+6a+3)= -a^{2}+6a+6. \end{aligned} \] Assim, \[ \det M=0 \ \Longleftrightarrow\ 3a(a-2)=0\ \text{ ou }\ a^{2}-6a-6=0. \]3) Excluindo os valores que anulam o determinante:
\[ a\neq 0,\quad a\neq 2,\quad a\neq 3\pm\sqrt{15}. \]
Conjunto dos \(a\) para os quais \(M\) é invertível:
\(\displaystyle a\in \mathbb{R}\setminus\{\,0,\,2,\,3-\sqrt{15},\,3+\sqrt{15}\,\}.\)
