Triângulo de Sierpinski

O que é

O Triângulo de Sierpiński é um fractal obtido ao remover, recursivamente, o triângulo central de um triângulo equilátero. O conjunto limite é autossimilar: cada parte é uma cópia reduzida do todo.

Como construir (3 jeitos)

1) Remoção recursiva (construção clássica)

Comece com um triângulo equilátero (\(n=0\)).
Una os pontos médios dos lados e remova o triângulo central (\(n=1\)).
Repita o processo nos três triângulos restantes, para \(n=2,3,\dots\).

2) IFS (Sistema de Funções Iteradas)

Use 3 contrações de razão \(1/2\) que posicionam cópias reduzidas nos vértices. O atrator é o Triângulo de Sierpiński (detalhes em IFS).

3) Chaos Game (Jogo do Caos)

Escolha vértices \(A,B,C\) de um equilátero.
De um ponto inicial qualquer, a cada passo escolha um vértice ao acaso e vá ao ponto médio entre o ponto atual e esse vértice.
Após muitas iterações, os pontos “revelam” o fractal (ver Chaos Game).

Propriedades essenciais

Autossimilaridade exata: o conjunto é a união de 3 cópias de si mesmo, cada uma com escala \(1/2\).
Dimensão fractal (Hausdorff): \(\displaystyle d=\frac{\ln 3}{\ln 2}\approx 1{,}585\).
Área decrescente: se \(A_0\) é a área inicial, \[ A_n=A_0\left(\frac{3}{4}\right)^{n}\quad (n\ge 0),\qquad \lim_{n\to\infty}A_n=0. \]
Perímetro: à medida que \(n\) cresce, o contorno se torna mais intricado e o comprimento total diverge.
Lacunas removidas até \(n\): \(\displaystyle 1+3+3^2+\cdots+3^{n-1}=\frac{3^{n}-1}{2}\) (para \(n\ge 1\)).

Relação com o Triângulo de Pascal (módulo 2)

Pintando as entradas ímpares do Triângulo de Pascal e deixando as pares em branco, surge exatamente o padrão de Sierpiński. Pelo teorema de Lucas em base 2, \(\binom{n}{k}\) é ímpar sse cada bit de \(k\) está contido no de \(n\) (isto é, \(k\) é “submáscara” de \(n\)).

Formulação por IFS

Fixe os vértices \(V_1=(0,0)\), \(V_2=(1,0)\) e \(V_3=(\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2})\). Defina, para \(\mathbf{x}\in\mathbb{R}^2\):

\[ f_i(\mathbf{x})=\tfrac{1}{2}\,\mathbf{x}+\tfrac{1}{2}\,V_i,\quad i=1,2,3. \]

Então o atrator único do sistema \(\{f_1,f_2,f_3\}\) é \(S\) tal que \(S=f_1(S)\cup f_2(S)\cup f_3(S)\), o Triângulo de Sierpiński.

Chaos Game (Jogo do Caos)

Com os mesmos \(V_1,V_2,V_3\), escolha \(P_0\) qualquer.
Para \(n\ge 1\), escolha \(V_{i_n}\) uniformemente e faça \(P_n=\tfrac{1}{2}(P_{n-1}+V_{i_n})\).
O conjunto de pontos \(\{P_n\}\) aproxima o atrator do IFS; descartar as primeiras centenas de pontos ajuda a “limpar” o transiente.

Variações (pesos diferentes, exclusão de vértices sucessivos, etc.) geram padrões aparentados.

Atividades rápidas

Papel quadriculado: marque pontos médios e remova o centro por 4–5 iterações.
Pascal mod 2: gere 32–64 linhas, pinte os ímpares e compare com \(S\).
Conexões visuais: contraste fractais com ilusões “impossíveis” como o Triângulo de Penrose.

Exercícios (enunciado + solução em toggle)

Exercício 1 — Enunciado

Partindo de área \(A_0\), prove que \(A_n=A_0\left(\dfrac{3}{4}\right)^n\) para \(n\ge 0\).

Ver solução

A cada etapa, o triângulo divide-se em 4 congruentes e remove-se o central. Restam 3 peças de área \(A_n/4\). Logo \(A_{n+1}=\tfrac{3}{4}A_n\). Por indução, \(A_n=A_0(3/4)^n\).

Exercício 2 — Enunciado

Calcule a dimensão de similaridade \(d\) sabendo que o conjunto é a união de \(N=3\) cópias em escala \(r=1/2\).

Ver solução

Para conjuntos autossimilares: \(N=r^{-d}\). Assim, \(3=(1/2)^{-d}=2^{d}\Rightarrow d=\log_2 3=\dfrac{\ln 3}{\ln 2}\approx 1{,}585\).

Exercício 3 — Enunciado

Mostre que o número total de lacunas após \(n\) iterações é \(\dfrac{3^n-1}{2}\) (para \(n\ge 1\)).

Ver solução

A remoção por iteração forma a PG \(1,3,3^2,\dots,3^{n-1}\). Soma: \(\dfrac{3^n-1}{3-1}=\dfrac{3^n-1}{2}\).

Exercício 4 — Enunciado

Explique por que pintar ímpares no Triângulo de Pascal reproduz Sierpiński.

Ver solução

Pela aritmética binária/Lucas (base 2), \(\binom{n}{k}\) é ímpar sse cada bit 1 de \(k\) também é 1 em \(n\) (isto é, \(k\) é submáscara de \(n\)). A paridade em blocos de potências de 2 cria a autossimilaridade.

Exercício 5 — Enunciado

Se o equilátero inicial tem lado \(L\), mostre que \(A_n=\dfrac{\sqrt{3}}{4}L^2\left(\dfrac{3}{4}\right)^n\).

Ver solução

\(A_0=\dfrac{\sqrt{3}}{4}L^2\). Aplicando o fator \((3/4)^n\): \(A_n=\dfrac{\sqrt{3}}{4}L^2(3/4)^n\).

Exercício 6 — Enunciado

Por que o Chaos Game converge para o mesmo conjunto definido pelo IFS?

Ver solução

As aplicações \(f_i\) são contrações (razão \(1/2\)). Pelo teorema do ponto fixo para IFS (Hutchinson), existe um atrator único; a dinâmica aleatória visita esse atrator quase certamente, após transiente.