Raízes da função quadrática (guia completo)

As raízes (ou zeros) de uma função quadrática \(f(x)=ax^2+bx+c\) \((a\ne 0)\) são os valores de \(x\) que tornam \(f(x)=0\). No gráfico, são os pontos de interseção da parábola com o eixo \(x\). Este artigo reúne definição, fórmula de Bhaskara, interpretação geométrica, casos do discriminante \((\Delta)\), relações de Viète e exemplos resolvidos passo a passo.

Parábola cortando o eixo x nos pontos x1 e x2, que são as raízes da função quadrática.

Função quadrática (guia) Gráfico da função A parábola Vértice Coeficiente \(a\) Coeficientes \(b\) e \(c\) Máximo e mínimo Estudo do sinal Demonstração de Bhaskara

Definição e fórmula de Bhaskara

\[ \text{Raízes de } f(x)=ax^2+bx+c:\quad x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}, \qquad \Delta=b^2-4ac. \]

O valor de \(\Delta\) define quantas raízes reais existem:

\(\Delta>0\): duas raízes reais e distintas \((x_1\ne x_2)\);
\(\Delta=0\): uma raiz real dupla \((x_1=x_2)\);
\(\Delta<0\): não há raízes reais (as soluções são complexas).

📘 Tenha as fórmulas sempre à mão

Bhaskara, forma canônica, vértice, discriminante e muito mais em um PDF enxuto para revisão rápida.

Baixar o E-book de Fórmulas

Interpretação no gráfico

No plano cartesiano, as raízes são as abscissas dos pontos onde a parábola corta o eixo \(x\). Relacione com:

vértice \(\left(\frac{-b}{2a}, \frac{-\Delta}{4a}\right)\),
abertura (sinal e “largura” via \(a\)),
intercepto em \(y\) (valor \(f(0)=c\)).

Relações de Viète (atalhos úteis)

Para \(f(x)=ax^2+bx+c\) com raízes reais \(x_1\) e \(x_2\):
\[ x_1+x_2=-\frac{b}{a},\qquad x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}. \] Ótimo para conferência e para problemas que pedem soma/produto das raízes.

Passo a passo (com as contas em coluna)

Exemplo 1 — \(f(x)=x^2-5x+6\). Calcule as raízes e interprete.

\[ \begin{aligned} a&=1,\ b=-5,\ c=6\\ \Delta&=(-5)^2-4(1)(6)\\ &=25-24\\ &=1\\[6pt] x&=\frac{-(-5)\pm\sqrt{1}}{2\cdot 1}\\ &=\frac{5\pm 1}{2}\\[6pt] x_1&=\frac{5-1}{2}=2\\ x_2&=\frac{5+1}{2}=3 \end{aligned} \]

A parábola cruza o eixo \(x\) em \(x=2\) e \(x=3\). Conferindo Viète: \(x_1+x_2=5=-b/a\) e \(x_1x_2=6=c/a\).

Exemplo 2 — \(g(x)=-2x^2+x+3\). Encontre \(x_1,x_2\).

\[ \begin{aligned} a&=-2,\ b=1,\ c=3\\ \Delta&=1^2-4(-2)(3)\\ &=1+24\\ &=25\\[6pt] x&=\frac{-1\pm\sqrt{25}}{2(-2)}\\ &=\frac{-1\pm 5}{-4}\\[6pt] x_1&=\frac{-1-5}{-4}=\frac{-6}{-4}=\frac{3}{2}\\ x_2&=\frac{-1+5}{-4}=\frac{4}{-4}=-1 \end{aligned} \]

Raízes: \(x_1=\tfrac{3}{2}\) e \(x_2=-1\). Soma \(=\tfrac{1}{2}=-b/a\) e produto \(=-\tfrac{3}{2}=c/a\), OK.

Exemplo 3 — \(h(x)=3x^2+2x+5\). Existem raízes reais?

\[ \begin{aligned} a&=3,\ b=2,\ c=5\\ \Delta&=2^2-4(3)(5)\\ &=4-60\\ &=-56 \end{aligned} \]

\(\Delta<0\) ⇒ não há raízes reais. A parábola não corta o eixo \(x\).

Exemplo 4 — \(p(x)=x^2-6x+9\). Caso de raiz dupla.

\[ \begin{aligned} a&=1,\ b=-6,\ c=9\\ \Delta&=(-6)^2-4(1)(9)\\ &=36-36\\ &=0\\ x_1&=x_2=\frac{-b}{2a}=\frac{6}{2}=3 \end{aligned} \]

A parábola toca o eixo \(x\) no ponto único \(x=3\) (vértice sobre o eixo).

Como responder questões típicas

Sem calcular as raízes

Use Viète para obter soma \((-\!b/a)\) e produto \((c/a)\). Útil para perguntas do tipo: “as raízes são positivas?”, “têm o mesmo sinal?” etc.

Comparando gráficos

Relacione o sinal de \(a\) (abre para cima/baixo), o vértice e o estudo do sinal para prever onde o gráfico cruza ou não o eixo \(x\).

Fatoração

Se \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\) for fácil de obter (por inspeção), as raízes aparecem diretamente: \(x_1\) e \(x_2\).

Exercícios propostos

1) Encontre as raízes de \(f(x)=2x^2-7x+3\).

Gabarito

\[ \begin{aligned} a&=2,\ b=-7,\ c=3\\ \Delta&=(-7)^2-4(2)(3)=49-24=25\\ x&=\frac{7\pm 5}{4}\\ x_1&=\frac{7-5}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\\ x_2&=\frac{7+5}{4}=\frac{12}{4}=3 \end{aligned} \]

2) Para \(g(x)=-x^2+4x-4\), determine as raízes.

Gabarito

\[ \begin{aligned} a&=-1,\ b=4,\ c=-4\\ \Delta&=4^2-4(-1)(-4)=16-16=0\\ x_1&=x_2=\frac{-4}{2(-1)}=\frac{-4}{-2}=2 \end{aligned} \]

3) \(h(x)=5x^2+3x+2\). Há raízes reais?

Gabarito

\[ \begin{aligned} \Delta&=3^2-4(5)(2)=9-40=-31\ (<0) \Rightarrow \text{não há raízes reais.} \end{aligned} \]